Ułamki proste

Ułamki proste

Ułamki proste to składniki sumy, w której przedstawia się funkcje wymierne, gdzie stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty ma dwie kluczowe cechy:

• Mianownik jest potęgą wielomianu nierozkładalnego.
• Licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia mianownika.

Funkcję wymierną można zapisać jako sumę wielomianu i funkcji, której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Rozkład tej funkcji na ułamki proste nazywamy rozkładem funkcji na ułamki proste. Nierozkładalność wielomianów zależy od ciała, w którym je rozważamy.

Postacie ułamków prostych

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych oraz zespolonych ułamki proste mogą przyjmować następujące formy:

• $frac\{b\}\{(x-a)^n\},\; quad\; ngeqslant\; 1$

Przykłady rozkładu

Oto przykłady rozkładu funkcji na ułamki proste:

• $frac\{f(x)\}\{(x-a)^3\}\; =\; frac\{A\}\{(x-a)\}\; +\; frac\{B\}\{(x-a)^2\}\; +\; frac\{C\}\{(x-a)^3\},$ gdzie
• $frac\{f(s)\}\{(s+3)(s+1)^4\}=frac\{A\}\{s+1\}+frac\{B\}\{(s+1)^2\}+frac\{C\}\{(s+1)^3\}+frac\{D\}\{(s+1)^4\}+frac\{E\}\{(s+3)\},$ gdzie
• $frac\{1\}\{(s^2+1)(s+1)^2\}=frac\{As+B\}\{s^2+1\}+frac\{C\}\{(s+1)^2\}+frac\{D\}\{s+1\}$

Aby znaleźć współczynniki $A,B,C,D,ldots$, wykorzystuje się metodę współczynników nieoznaczonych. Polega ona na sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika i uporządkowaniu wielomianu w liczniku. Przyrównując współczynniki, otrzymujemy układ równań do rozwiązania.

Linki zewnętrzne

W celu dalszej nauki, można zapoznać się z nagraniami dostępnymi na YouTube:

• [Rozkład na ułamki proste cz. 1](https://www.youtube.com/watch?v=eMhSi6gDtKo)
• [Rozkład na ułamki proste cz. 2](https://www.youtube.com/watch?v=P_LoNGvzIug)
• [Rozkład na ułamki proste cz. 3](https://www.youtube.com/watch?v=M1z9S9hDPZk)
• [Całkowanie funkcji wymiernej przez rozkład na ułamki proste](https://www.youtube.com/watch?v=kC29GaSQAtw)