Układ współrzędnych

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych to odwzorowanie, które przypisuje każdemu punktowi w przestrzeni $R^n$ skończony ciąg liczb rzeczywistych, zwanymi współrzędnymi. Do zdefiniowania układu współrzędnych potrzebne są:

• punkt początkowy $O$, zwany początkiem układu,
• baza wektorów przestrzeni $\backslash \{\backslash vec\; e\_1,\backslash vec\; e\_2,\backslash dots,\; \backslash vec\; e\_n\backslash \}$, która pozwala na wyrażenie wektora wodzącego punktu $P$ jako kombinacji liniowej tych wektorów.

Współrzędne punktu w danym układzie to współczynniki $a\_1,\; a\_2,\; \backslash ldots,\; a\_n$ w równaniu $\backslash vec\{OP\}\; =\; a\_1\backslash vec\; e\_1\; +\; a\_2\backslash vec\; e\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_n\; \backslash vec\; e\_n.$

Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni

Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu odpowiada wymiarowi przestrzeni:

• 1-wymiarowa (np. prosta) – 1 współrzędna,
• 2-wymiarowa (np. płaszczyzna $R^2$) – 2 współrzędne,
• 3-wymiarowa (np. przestrzeń $R^3$) – 3 współrzędne,
• n-wymiarowa – n współrzędnych.

W przypadku rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych odpowiada wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, z którą są lokalnie homeomorficzne.

Istnieją układy współrzędnych krzywoliniowych, takie jak:

• współrzędne biegunowe dla punktów okręgu (1 współrzędna),
• współrzędne sferyczne dla punktów sfery (2 współrzędne),
• współrzędne prostokątne lub sferyczne dla punktów kuli (3 współrzędne).

Uogólnienia

W ramach rozważań o układach współrzędnych można wyróżnić:

• przestrzenie nieskończenie wymiarowe,
• układy skośne (linie współrzędnych nieprostopadłe),
• układy krzywoliniowe (linie współrzędnych nieliniowe),
• współrzędne zespolone lub elementy innych ciał.

Rodzaje układów współrzędnych

• układ kartezjański (prostokątny),
• układ biegunowy (polarny),
• układ walcowy (cylindryczny),
• układ sferyczny.

Dodatkowo wyróżnia się układy astronomiczne, geograficzne i geodezyjne, w tym różne systemy elipsoidalne, takie jak:

• układ współrzędnych 1942,
• układ współrzędnych 1965,
• układ współrzędnych 1992,
• układ współrzędnych 2000.