Układ środka masy

Układ środka masy

Układ środka masy odnosi się do inercjalnego układu odniesienia, w którym środek masy układu ciał pozostaje w spoczynku. W takim układzie całkowity pęd układu wynosi zero:

$\backslash sum\_\{i\}^\{n\}\backslash vec\{p\}\_i\; =\; 0$

Jest to kluczowe w analizie zderzeń sprężystych oraz w badaniach związanych z kreacją cząstek elementarnych.

Relacja z innymi układami inercjalnymi

Położenie środka masy n ciał w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia można wyznaczyć za pomocą wzoru:

$r=\backslash frac\{\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\{n\}\{r\_\{k\}m\_\{k\}\}\}\{M\}$

gdzie:

• r – wektor położenia środka masy,
• r_k – wektor położenia k-tego ciała,
• m_k – masa k-tego ciała,
• M – całkowita masa układu.

Prędkość środka masy obliczamy ze wzoru:

$v=\backslash frac\{\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\{n\}\{v\_\{k\}m\_\{k\}\}\}\{M\}$

gdzie v to prędkość całego układu, a v_k prędkości poszczególnych ciał.

Energia zderzenia w układzie środka masy

Całkowita energia kinetyczna zderzenia w układzie środka masy osiąga minimalną wartość, nazywaną energią efektywną. Różnica między energią efektywną a energią w układzie, gdzie jedna cząstka spoczywa, jest szczególnie znacząca dla cząstek relatywistycznych. Na przykład, w zderzeniu proton-proton, gdy jeden proton jest w spoczynku, a drugi ma energię 200 GeV, efektywna energia wynosi jedynie 10 GeV. W eksperymentach akceleratorowych efektywną strategią jest metoda wiązek przeciwbieżnych, gdzie układ laboratoryjny staje się układem środka masy.

Kąt rozproszenia

W przypadku cząstki o masie m₁ rozpraszanej na nieruchomej cząstce o masie m₂ (gdzie m₁ > m₂), kąt rozproszenia α spełnia warunek –π/2 < α < π/2. Natomiast w układzie środka masy kąt rozproszenia β może przyjąć dowolną wartość. Relację między tymi kątami opisuje wzór:

$tg\backslash alpha\; =\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash beta\; \}\{\backslash frac\{m\_\{1\}\}\{m\_\{2\}\}+\backslash cos\; \backslash beta\; \}$