Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, znane również jako twierdzenie Regiomontana, określa zależności między kątami a bokami trójkąta.

Formuła twierdzenia

Dla trójkąta, w którym długości boków oznaczamy jako $a$ i $b$, a miary kątów naprzeciwko tych boków jako $\backslash alpha$ i $\backslash beta$, zachodzi następująca zależność:

$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{\backslash alpha\; –\; \backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\}\{2\}\}.$

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynika, że:

$a\; =\; 2R\; \backslash sin\; \backslash alpha$ oraz $b\; =\; 2R\; \backslash sin\; \backslash beta.$

Możemy zatem zapisać:

$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{2R\; \backslash sin\; \backslash alpha\; –\; 2R\; \backslash sin\; \backslash beta\}\{2R\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; 2R\; \backslash sin\; \backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; –\; \backslash sin\; \backslash beta\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta\}.$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, otrzymujemy:

$\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; –\; \backslash sin\; \backslash beta\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\; –\; \backslash beta\}\{2\}\}\{2\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\; –\; \backslash beta\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{\backslash alpha\; –\; \backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{\backslash alpha\; +\; \backslash beta\}\{2\}\}.$

Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej

W przypadku trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie. Dla długości boków $a$ i $b$, oraz kątów $\backslash alpha$ i $\backslash beta$, mamy:

$\backslash frac\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{a-b\}\{2\}\}\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{a+b\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{\backslash alpha\; –\; \backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash operatorname\{tg\}\backslash frac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}.$

Podsumowanie

Twierdzenie tangensów jest istotnym narzędziem w trygonometrii, zarówno w kontekście trójkątów płaskich, jak i sferycznych, pozwalającym na określenie relacji między bokami i kątami.