Twierdzenie Stokesa

Twierdzenie Stokesa określa, że cyrkulacja pola wektorowego wokół zamkniętego konturu jest równa strumieniowi rotacji tego pola przez powierzchnię ograniczoną tym konturem. Ma istotne znaczenie w teorii pól, mechanice płynów oraz w równaniach Maxwella. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa są szczególnymi przypadkami twierdzenia Stokesa.

Historia twierdzenia sięga prac Ampère’a z 1826 roku, a jego standardowa forma została opracowana przez Williama Thomsona przed 1850 rokiem. G. G. Stokes opublikował twierdzenie jako problem na egzaminach w 1854 roku, a pierwszy dowód ukazał się w 1861 roku.

Dowód

Rozważmy powierzchnię $\Sigma$ opisaną przez funkcję $r(s,t)$ . Używając reguły łańcuchowej oraz wzoru na całkę krzywoliniową, uzyskujemy:

$\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x’_s ds + x’_t dt).$

Analogiczne wzory można stosować dla innych składowych. Z twierdzenia Greena uzyskujemy:

$\oint\limits_{\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_D\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x’_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x’_s)\right)ds\,dt.$

Po dalszych przekształceniach otrzymujemy:

$\oint\limits_{\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma}) = \iint\limits_D(\operatorname{rot}F(s,t))\circ \vec{n}(s,t) ds\,dt.$

co stanowi końcowy wynik dowodu.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa

Twierdzenie można sformułować dla $n$ -wymiarowych gładkich powierzchni. Dla orientowalnej powierzchni gładkiej $H$ oraz zbioru zwartego $K$ , którego brzeg jest gładką powierzchnią, zachodzi:

${}\,\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\mathrm{Fr}K]_{\sigma^{\mathrm{Fr}}}}\Omega.$

Wnioski

Twierdzenie Stokesa ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki i fizyki, stanowiąc fundament dla dalszych badań nad polami wektorowymi.