Twierdzenie Steinera (mechanika)

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera opisuje związek momentu bezwładności bryły, powierzchni lub linii względem dowolnej osi i osi równoległej przechodzącej przez środek masy. Zostało sformułowane przez Jakoba Steinera.

Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi można wyrazić wzorem:

$I\; =\; I\_0\; +\; md^2$

• $I\_0$ – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,
• $I$ – moment bezwładności względem osi równoległej,
• $d$ – odległość między osiami,
• $m$ – masa bryły.

W przypadku stałej gęstości, analogami masy są objętość bryły, pole powierzchni lub długość linii. Kluczowym wnioskiem jest, że moment bezwładności osiąga najmniejszą wartość dla osi przechodzącej przez środek masy.

Dla tensora momentu bezwładności

Twierdzenie Steinera można również zastosować do tensora momentu bezwładności. W tej ogólnej formie zależność jest następująca:

$\backslash hat\{I\}\_\{ij\}^A\; =\; \backslash hat\{I\}\_\{ij\}^\{cm\}\; +\; m(\backslash delta\_\{ij\}\; d^2\; –\; d\_i\; d\_j)$

• $\backslash hat\{I\}\_\{ij\}^A$ – składowa $ij$ tensora momentu bezwładności w punkcie A,
• $\backslash hat\{I\}\_\{ij\}^\{cm\}$ – składowa $ij$ w środku masy,
• $d$ – odległość między punktem $A$ a środkiem masy,
• $m$ – masa bryły,
• $\backslash delta\_\{ij\}$ – delta Kroneckera.

Dowód

Rozpoczynając od całkowitej masy bryły $m$ oraz warunku, że r jest liczone w układzie środka masy, możemy zdefiniować:

$\backslash sum\_k\; m\_k=m$
$\backslash sum\_k\; m\_k\backslash mathbf\{r\}\_k=0$

Obliczając moment bezwładności w punkcie $A$, otrzymujemy:

$\backslash hat\{I\}\_\{ij\}^A\; =\; \backslash hat\{I\}\_\{ij\}^\{cm\}+m(d^2\backslash delta\_\{ij\}-d\_i\; d\_j)$

Podsumowanie

Twierdzenie Steinera jest fundamentalnym narzędziem w mechanice bryły sztywnej, umożliwiającym obliczenie momentów bezwładności dla różnych osi, co jest istotne w wielu zastosowaniach inżynieryjnych i fizycznych.