Twierdzenie Rao-Blackwella

Twierdzenie Rao-Blackwella

Twierdzenie Rao-Blackwella jest kluczowym rezultatem w teorii decyzji, które dotyczy optymalizacji reguł decyzyjnych. Zakłada, że:

• A jest wypukłym zbiorem decyzji.
• L(a, θ) jest wypukłą funkcją parametru a dla ustalonego θ.
• T jest statystyką dostateczną.
• d jest regułą decyzyjną.

Na mocy twierdzenia, reguła decyzyjna $d\_0\; =\; E(d\; |\; T)$ jest zależna jedynie od statystyki T i nie jest gorsza od reguły d.

Dowód

Dowód opiera się na lemacie, który stwierdza, że jeśli C jest zbiorem wypukłym i Z jest zmienną losową spełniającą warunek $P(Z\; \backslash in\; C)\; =\; 1$, to $EZ\; \backslash in\; C$, pod warunkiem istnienia oczekiwania.

W kontekście twierdzenia:

• A jest zbiorem wypukłym, więc $d\_0\; \backslash in\; A$.
• T jest statystyką dostateczną, co pozwala na wybranie wersji warunkowej wartości oczekiwanej niezależnej od θ.

Ostatecznie, możemy stwierdzić, że:

$R(d,\; \backslash vartheta)\; =\; E\; L(d,\backslash vartheta)\; \backslash geqslant\; E[L(E(d|T),\backslash vartheta)]\; =\; E(d\_0,\backslash vartheta)\; =\; R(d\_0,\backslash vartheta)$

Co kończy dowód twierdzenia Rao-Blackwella. Warto zauważyć, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna.

Kategoria

Teoria decyzji, Rao-Blackwella