Twierdzenie o próbkowaniu

Twierdzenie Nyquista–Shannona

Twierdzenie Nyquista–Shannona stanowi kluczowy element teorii informacji oraz cyfrowego przetwarzania sygnałów. Opisuje zasady próbkowania sygnałów, które umożliwiają ich wierne odtworzenie w postaci dyskretnej. Zgodnie z tym twierdzeniem, sygnał ciągły $x(t)$ może zostać zrekonstruowany z jego próbek $x^\backslash star(t)$, pod warunkiem, że częstotliwość próbkowania wynosi co najmniej 2B, gdzie B to maksymalna częstotliwość sygnału.

Kluczowe Założenia

• Jeśli sygnał nie posiada składowych o częstotliwości równej lub wyższej niż B, można go odtworzyć z próbek.
• Próbkowanie sygnału ciągłego tworzy jego kopie w dziedzinie częstotliwości, co może prowadzić do aliasingu, jeśli nie zostaną spełnione odpowiednie warunki.

Warunki dla prawidłowego próbkowania obejmują:

• Widmo sygnału musi być ograniczone do przedziału częstotliwości, co oznacza, że dla częstotliwości |f| ≥ B, widmo powinno być zerowe.
• Częstotliwość próbkowania $f\_s$ powinna być większa niż 2B: $f\_s\; >\; 2B.$

Aby możliwe było odfiltrowanie oryginalnego sygnału z sygnału spróbkowanego, potrzebny jest filtr dolnoprzepustowy, który eliminuje kopie widma, nie zmieniając wartości fazy i amplitudy.

Problemy Praktyczne

W praktyce, żaden z idealnych warunków Nyquista nie jest spełniony:

• Sygnały o ściśle ograniczonym widmie mają nieskończony czas trwania.
• Filtry mają z reguły transmitancję, która nie jest idealna, co utrudnia rekonstrukcję sygnału.

Dowód Twierdzenia

Dowód Claude’a Shannona oparty jest na symetrii przekształcenia Fouriera oraz rozwinięciu widma sygnału w szereg Fouriera. Zauważono, że widmo $X(f)$ ma niezerowe wartości w przedziale Można je zapisać jako sumę zespolonego szeregu Fouriera:

$X(f)\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; -\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; X\_k\; e^\{\backslash frac\{j\; k\; \{2\; \backslash pi\; f\}\}\{f\_s\}\}.$

Współczynniki $X\_k$ można uzyskać z całki, a zapisana odwrotna transformata $x(t)$ pozwala stwierdzić, że $X(f)$ jest całkowicie opisane przez ciąg próbek $x(k/f\_s).$