Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Lagrange’a

Twierdzenie Lagrange’a to kluczowe zagadnienie w rachunku różniczkowym, stanowiące uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i Taylora. Zostało sformułowane i udowodnione przez Josepha Louisa Lagrange’a w 1797 roku.

Treść twierdzenia

Jeśli funkcja $f\backslash colon\; [a,b]\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$ jest:

• ciągła w przedziale $[a,\; b]$,
• różniczkowalna w przedziale $(a,\; b)$,

to istnieje punkt $c\; \backslash in\; (a,\; b)$, taki że:
$\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=f\text{'}(c).$

Interpretacja

Geometrically, twierdzenie oznacza, że na wykresie funkcji od punktu $(a,\; f(a))$ do $(b,\; f(b))$ istnieje punkt, w którym styczna do wykresu jest równoległa do siecznej łączącej te dwa punkty. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie $(c,\; f(c))$ jest równy $f\text{'}(c)$ i zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a jest równy $\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}$.

Dowód

Zakładamy, że:
$K=\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\},$
$g(x)=f(x)-K(x-a).$
Zauważamy, że:
$g(a)=f(a)$ oraz $g(b)=f(a)$, co oznacza, że $g(a)=g(b)$. Funkcja $g(x)$ spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, co prowadzi do istnienia punktu $c\; \backslash in\; (a,b)$, dla którego $g\text{'}(c)=0$. W wyniku tego uzyskujemy $f\text{'}(c)=K$, co dowodzi tezy.

Historia

Pierwsze zastosowanie tego twierdzenia zostało opisane przez Parameśwarę w XV wieku. W 1691 roku Michel Rolle udowodnił prostszą formę tego twierdzenia, znaną dziś jako twierdzenie Rolle’a. Współczesną wersję twierdzenia Lagrange’a sformułował i udowodnił Augustin Louis Cauchy w 1823 roku.

Uogólnienia

Dla funkcji wartości w dowolnych przestrzeniach wektorowych twierdzenie Lagrange’a nie jest zawsze spełnione. Na przykład, w przypadku linii śrubowej, brak pochodnej zerowej nie pozwala na zastosowanie tezy. Jednak dla funkcji różniczkowalnych w przestrzeniach Banacha obowiązuje nierówność:
$\backslash |\; f(b)-f(a)\; \backslash |\; \backslash leqslant\; |b-a|\; \backslash cdot\; \backslash sup\backslash limits\_\{t\; \backslash in\; (a,b)\}\; \backslash |f\text{'}(t)\backslash |.$
Dowód tej nierówności polega na analizie ograniczeń górnych normy pochodnej na przedziale $(a,b)$.