Twierdzenie Hilberta o bazie

Twierdzenie Hilberta o bazie

Twierdzenie Hilberta stwierdza, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W kontekście geometrii algebraicznej oznacza to, że każdy zbiór algebraiczny nad ciałem można opisać jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów.

Udowodnione przez Davida Hilberta w szczególnym przypadku pierścienia wielomianów nad ciałem, twierdzenie to zostało zaprezentowane w ramach dowodu dotyczącego skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Hilbert zastosował dowód niekonstruktywny, oparty na indukcji matematycznej, który tylko potwierdzał istnienie skończonej bazy wielomianów dla danego ideału, bez wskazywania algorytmu jej wyodrębniania. W praktyce, konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy opiera się na bazie Gröbnera.

Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie

• Jeśli $P[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]$ jest pierścieniem wielomianów $n$ zmiennych o współczynnikach z pierścienia $P$, a $P$ jest pierścieniem noetherowskim, to $P[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]$ również jest pierścieniem noetherowskim.
• Jeżeli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia $P$ jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia $P[X\_1,\; \backslash dots,\; X\_n]$ jest skończony.

Bibliografia

Hilbert o bazie