Reklama

Twierdzenie Darboux

Twierdzenie Darboux, znane również jako twierdzenie o wartości pośredniej, dotyczy ciągłych funkcji rzeczywistych na przedziałach rzeczywistych. Mówi, że każda funkcja ciągła na przedziale [a, b] przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między swoimi wartościami na końcach tego przedziału.

Reklama

Formułowanie twierdzenia

Niech $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ będzie funkcją ciągłą. Jeżeli $f(a) \cdot f(b) < 0$ , to istnieje punkt $c$ w przedziale $(a, b)$ , dla którego $f(c) = 0$ . Ogólnie, dla każdej wartości $d$ spełniającej $f(a) < d < f(b)$ lub $f(a) > d > f(b)$ , istnieje $c\in[a, b]$ takie, że $f(c) = d$ .

Dowód analityczny

Metoda Cauchy’ego

Zakładamy, że $d$ należy do otwartego przedziału $(f(a), f(b))$ . Definiujemy zbiory $A$ i $A^c$ , gdzie $A = \{x \in [a,b] : f(x) \leq d\}$ i $A^c = \{x \in [a,b] : f(x) > d\}$ . W obu zbiorach zachodzi niepustość, co prowadzi do istnienia supremum $s$ dla zbioru $A$ . Przy użyciu ciągłości funkcji oraz właściwości supremum, dowodzimy, że $f(s) = d$ .

Reklama

Metoda Heinego

Definiujemy ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ w sposób indukcyjny. Ostatecznie, zbieżność tych ciągów i zastosowanie własności funkcji ciągłej prowadzi do wniosku, że $f(c) = d$ , gdzie $c = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$ .

Dowód topologiczny

Zakładamy, że $d$ nie należy do zbioru wartości funkcji $f$ . Wówczas przeciwobraz $\mathbb{R} \setminus \{d\}$ jest równy przedziałowi $[a, b]$ , co prowadzi do sprzeczności. W konsekwencji, $d$ musi być wartością funkcji $f$ .

Podsumowanie

Twierdzenie Darboux, dotyczące wartości pośrednich funkcji ciągłych, można dowieść na różne sposoby, w tym analitycznie oraz topologicznie. Wartości te są kluczowe w analizie matematycznej, ponieważ wskazują na spójność zbioru wartości funkcji ciągłych.

Reklama