Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta opisuje związek między wartością wielomianu $f(x)$ a resztą z jego dzielenia przez dwumian $(x\; –\; r)$. Dla dowolnej wartości $x\; =\; r$, wartość $f(r)$ odpowiada reszcie z tego dzielenia. Jeśli $f(r)\; =\; 0$, to oznacza, że $f(x)$ jest podzielny przez $(x\; –\; r)$, a $r$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Przykłady

• Przykład 1: Dla wielomianu $f(x)\; =\; x^3\; –\; 12x^2\; –\; 42$, mamy $f(3)\; =\; -123\; \backslash ne\; 0$, co oznacza, że nie jest on podzielny przez $(x\; –\; 3)$. W wyniku dzielenia otrzymujemy trójmian $g(x)\; =\; x^2\; –\; 9x\; –\; 27$ oraz resztę $r\; =\; -123$.
• Przykład 2: Dla wielomianu $f(x)\; =\; x^5\; –\; 2x^4\; +\; x^3\; –\; 3x^2\; +\; x\; +\; 2$, mamy $f(2)\; =\; 0$, co wskazuje, że jest on podzielny przez $(x\; –\; 2)$.

Ogólne sformułowanie Twierdzenia Bézouta

Niech $\backslash mathcal\{R\}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Element $r\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu $f(x)\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $S(x)\; \backslash in\; \backslash mathcal\{R\}[x]$, taki że $f(x)\; =\; (x\; –\; r)S(x)$. Dodatkowo, stopień $S(x)$ jest o jeden niższy niż stopień $f(x)$, czyli $\backslash deg\; S(x)\; =\; \backslash deg\; f(x)\; –\; 1$.

Równość Bézouta

Równość Bézouta mówi, że wartość wielomianu $f(x)$ w punkcie $r$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu przez $(x\; –\; r)$. Równość ta wynika z dowodu twierdzenia i potwierdza fundamentalny związek między wartościami wielomianów a ich pierwiastkami.