Definicja twierdzenia
Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu używana w naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań: założenia i tezy. Założenie określa warunki, w których twierdzenie jest prawdziwe, natomiast teza stanowi jego główną treść.
Różnice między twierdzeniem a sylogizmem
W przeciwieństwie do sylogizmu, w którym teza wynika bezpośrednio z założeń, twierdzenie wymaga osobnego dowodu, odnosząc się do wcześniejszych twierdzeń danej teorii. Wnioski wyprowadzone z twierdzenia często określa się mianem wniosków lub twierdzeń trywialnych.
Aksjomaty i twierdzenia pierwotne
Nie wszystkie twierdzenia mają dowody. Część z nich to aksjomaty — twierdzenia pierwotne, które nie mogą być dowiedzione. Inne akceptowane są na wiarę, ponieważ wydają się prawdziwe w znanych przypadkach. Kurt Gödel udowodnił, że w każdej wystarczająco złożonej teorii istnieje zbiór twierdzeń, które są prawdziwe, lecz nie można ich dowieść w ramach tej teorii. Takie twierdzenie nosi nazwę twierdzenia Gödla.
Forma twierdzenia
Twierdzenia można przedstawiać w formie jednego zdania złożonego. Przykład: „jeżeli liczba naturalna m jest podzielna przez sześć, to jest podzielna przez trzy”. Można je rozbić na:
- założenie: dla każdego m należącego do zbioru liczb naturalnych i podzielnego przez sześć,
- teza: m jest podzielne przez trzy.
Kwantyfikatory w twierdzeniach
W założeniach często pojawiają się kwantyfikatory, takie jak „dla każdego z danych elementów zbioru…” lub „istnieje taki element zbioru, że…”. Niemniej jednak, nie jest to warunek konieczny do uznania danej wypowiedzi za twierdzenie.
