Reklama

Trysekcja kąta

Trysekcja kąta to jeden z trzech wielkich problemów matematyki greckiej, obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła. Polega na podzieleniu kąta na trzy równe części przy użyciu jedynie cyrkla i liniału. W 1837 roku Pierre Wantzel udowodnił, że ogólnie konstrukcja ta jest niewykonalna. Z użyciem teorii Galois można stwierdzić, że kąt o mierze $\tfrac{1}{3} \varphi$ jest konstruowalny, jeśli wielomian $4x^3-3x-\cos \varphi$ jest rozkładalny w ciele $\mathbb{Q}(\cos \varphi)$ .

Reklama

Konstrukcja Archimedesa

Rezygnując z ograniczeń dotyczących narzędzi, trysekcję kąta ostrego można wykonać za pomocą konstrukcji Archimedesa (konstrukcja neusis). Wymaga to użycia cyrkla i liniału z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y. Proces wygląda następująco:

Nakreślenie okręgu o środku O (wierzchołek kąta) i promieniu $r = |XY|.$
Oznaczenie punktów przecięcia okręgu z ramionami kąta jako A i B.
Poprowadzenie prostej OA oraz prostej $l$ tak, aby jeden z punktów X należał do prostej OA, a drugi punkt Y należał do okręgu, przechodząc przez punkt B.