Trygonometryczne wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 90° do 180°
W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinus

Tangens i cotangens

Podawanie wzorów typu $\backslash operatorname\{tg\}\backslash \; \backslash left(\; \backslash frac\{3\backslash pi\}\{2\}+\backslash alpha\backslash right)\; =-\backslash operatorname\{ctg\}\; \backslash alpha$ nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.
Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresie

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.
1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:
:* jeśli w argumencie jest $(x+\backslash alpha)$ gdzie $\backslash alpha$ jest równe np. $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\},$ $\backslash pi,$ $\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash pi,$ lub $2\backslash pi,$ to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o $\backslash alpha$ w lewo.
:* jeśli w argumencie jest $(x-\backslash alpha)$ to przesuwamy wykres o $\backslash alpha$ w prawo.
:* jeśli w argumencie jest $(\backslash alpha-x)$ to przesuwamy wykres o $\backslash alpha$ w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.
2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.
3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:
:* Jeśli przecina ją w punkcie $y=1,$ to wynikiem jest $\backslash cos\; (x)$
:* Jeśli przecina ją w punkcie $y=-1,$ to wynikiem jest $-\backslash cos\; (x)$
:* Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest $\backslash sin(x)$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub $\backslash operatorname\{tg\}(x)$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
:* Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest $-\backslash sin(x)$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub $-\backslash operatorname\{tg\}(x)$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
:* Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do $\backslash pi$ rośnie, to wynikiem jest $\backslash operatorname\{ctg\}(x)$
:* Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do $\backslash pi$ maleje, to wynikiem jest $-\backslash operatorname\{ctg\}(x)$

Przykłady zastosowania

Dla odmiany użyta zostanie miara stopniowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.
$\backslash sin\; 135^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; (90^\backslash circ\; +\; 45^\backslash circ)=\backslash cos\; 45^\backslash circ=\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$
$\backslash cos\; 210^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; (180^\backslash circ\; +\; 30^\backslash circ)=-\backslash cos\; 30^\backslash circ=-\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$
$\backslash operatorname\{tg\}\backslash \; 585^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname\{tg\}\backslash \; (3\backslash cdot\; 180^\backslash circ\; +\; 45^\backslash circ)=\backslash operatorname\{tg\}\backslash \; 45^\backslash circ=1$
$\backslash sin\; (-1035^\backslash circ)=-\backslash sin\; 1035^\backslash circ=-\backslash sin\; (2\backslash cdot\; 360^\backslash circ+315^\backslash circ)=$$-\backslash sin\; 315^\backslash circ=-\backslash sin\; (360^\backslash circ-45^\backslash circ)=-(-\backslash sin\; 45^\backslash circ)=\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$
W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.
Kategoria:Twierdzenia trygonometrii