Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest kluczowym pojęciem w teorii sterowania i przetwarzania sygnałów. Definiuje się ją jako stosunek wartości zespolonej odpowiedzi $Y$ układu do wartości zespolonej wymuszenia $X$, przy sinusoidalnym sygnale wejściowym, w stanie ustalonym.

Definicja i wyrażenia matematyczne

Transmitancję widmową można zapisać jako:

$G(j\; \backslash omega)\; =\; \backslash frac\{Y(j\; \backslash omega)\}\{X(j\; \backslash omega\; )\}.$

W odniesieniu do transmitancji operatorowej obowiązuje następująca zależność:

$G(j\; \backslash omega)\; =\; G(s)|\_\{s=j\backslash omega\}.$

Sinusoidalny sygnał wejściowy opisuje się równaniem:

$X\; =\; A\_X\; e^\{j\backslash omega\; t\}.$

Natomiast odpowiedź układu ma postać:

$Y\; =\; A\_Y\; e^\{j(\backslash omega\; t+\backslash phi)\}.$

Przekształcenia Fouriera

Transmitancję widmową liniowego układu o parametrach stałych można również zdefiniować poprzez transformację Fouriera. W tym przypadku stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych, również odzwierciedla transmitancję widmową.

Podsumowanie

Transmitancja widmowa jest istotnym narzędziem w analizie i projektowaniu układów dynamicznych, umożliwiającym zrozumienie i opisywanie zachowania układów na podstawie ich odpowiedzi na sinusoidalnie zmieniające się sygnały. Wykorzystuje się ją zarówno w teorii sterowania, jak i w przetwarzaniu sygnałów, co czyni ją kluczowym elementem w inżynierii i naukach technicznych.