Translacja (matematyka)

Translacja – Przesunięcie Równoległe

Translacja, znana jako przesunięcie równoległe, to przekształcenie prostych, płaszczyzn lub przestrzeni afinicznej. W praktyce oznacza to równoległe przesunięcie wszystkich punktów w danej dziedzinie bez deformacji czy obracania.

Definicja

Niech $\backslash mathbf\; v$ będzie dowolnym wektorem w przestrzeni afinicznej $\backslash mathbf\; V$. Translację $T\_v$ definiujemy wzorem:

$T\_\backslash mathbf\; v(x)\; =\; x\; +\; \backslash mathbf\; v.$

Wektor $\backslash mathbf\; v$ określamy jako wektor translacji. Obraz figury $A$ w wyniku translacji $T\_v$ nazywamy translacją figury $A$ o wektor $\backslash mathbf\; v$ i oznaczamy jako $A\; +\; \backslash mathbf\; v.$

Własności

Translacja ma kilka istotnych właściwości:

• Jeśli $\backslash mathbf\; v\; =\; \backslash mathbf\; 0$, translacja $T$ jest przekształceniem tożsamościowym.
• Jeśli $\backslash mathbf\; v\; \backslash ne\; \backslash mathbf\; 0$, translacja nie ma punktu stałego.
• Translacje oraz ich składanie tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej.
• W przestrzeniach euklidesowych translacja jest izometrią, co oznacza, że nie zmienia kształtu figury ani relacji między jej elementami, lecz zmienia jej położenie.

Grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii, a iloraz grupy izometrii przez grupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną. Niezmiennikiem translacji są długość i zwrot wektora, a wśród najważniejszych niezmienników izometrii znajdują się:

• Kierunek (klasa prostych równoległych)
• Odległość punktów
• Orientacja przestrzeni

Każda translacja prostej może być przedstawiona jako złożenie dwóch symetrii punktowych. Translacja w płaszczyźnie składa się z dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, a w przestrzeni z dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach. W każdym przypadku translacja może być złożeniem dwóch symetrii środkowych.

Podsumowanie

Translacja jest kluczowym pojęciem w geometrii, które odnosi się do równoległego przesunięcia w przestrzeni, zachowując kształt i relacje między elementami figury. Jej właściwości i związki z innymi przekształceniami geometrycznymi odgrywają istotną rolę w analizie przestrzennych struktur.