Transformata Z
Transformata Z, znana również jako transformata Laurenta, jest narzędziem do analizy układów dyskretnych, będącym odpowiednikiem transformaty Laplace’a.
Rys historyczny
Idea transformaty Z sięga czasów Pierre’a Simona de Laplace’a, lecz została na nowo wprowadzona przez Witolda Hurewicza w 1947 roku jako metoda do rozwiązywania równań różniczkowych. W 1952 roku Lotfi Zadeh, pracując nad układami dyskretnymi, nadał jej obecną nazwę.
Nazwa „transformata Z” może nawiązywać do litery „z” jako dyskretnej wersji „s” używanej w transformacie Laplace’a, lub do nazwisk badaczy Ragazziniego i Zadeha. Konwencja ta różni się od tych stosowanych w innych metodach matematycznych, gdzie nazwy często pochodzą od ich twórców.
Definicja
Transformatą Z dyskretnej funkcji czasu \( f^*(t) \) jest funkcja zdefiniowana jako:
\[
Z[f^*(t)] = F(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(kT) z^{-k},
\]
gdzie \( F(z) \) to transformata oryginału, a \( f(kT) \) to oryginał dyskretny. Transformata Z jest ograniczona do funkcji, które nie rosną szybciej niż funkcje wykładnicze.
Własności
- Liniowość: \( Z[af_1(kT) + bf_2(kT)] = aF_1(z) + bF_2(z) \)
- Przesunięcie w dziedzinie czasu: \( Z[f(kT+mT) \cdot H(kT)] = z^m \left[ F(z) – \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right] \)
- Transformata sumy: \( Z\left[g(kT)\right] = \frac{z}{z-1} F(z) \)
- Transformata różnicy: \( Z[f((k+1)T) – f(kT)] = (z-1) F(z) – zf(0) \)
- Splot: \( Z[f_1(n) * f_2(n)] = F_1(z) \cdot F_2(z) \)
- Twierdzenie o wartości początkowej: \( \lim_{k \to 0^+} f(kT) = \lim_{z \to \infty} F(z) \)
- Twierdzenie o wartości końcowej: \( f_\infty = \lim_{z \to 1} \frac{z-1}{z} F(z) \)
Przykłady
Przykład 1: Wyprowadzenie transformaty delty Kroneckera \( \delta(n) \):
\[
Z[\delta(n)] = 1.
\
Przykład 2: Dla ciągu \( x(n) = \frac{1}{2^n} \):
\[
Z[x(n)] = \frac{z}{z – \frac{1}{2}} \quad \text{(obszar zbieżności: } |z| > \frac{1}{2\text{)}.}
\
Przykład 3: Dla ciągu \( x(n) = u(n) a^n \):
\[
Z[x(n)] = \frac{z}{z-a} \quad \text{(obszar zbieżności: } |z| > |a| \text{)}.
\
Przykład 4: Dla skoku jednostkowego \( u(n) \):
\[
Z[u(n)] = \frac{z}{z-1} \quad \text{(obszar zbieżności: } |z| > 1\text{)}.
\
Powiązania
Transformata Z jest uogólnieniem dyskretnej transformaty Fouriera, gdy \( z=e^{j\omega} \). Obszar zbieżności musi zawierać okrąg jednostkowy, aby transformata Fouriera istniała.
