Transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera to operacja, która przekształca funkcję rzeczywistą $f(t)$ w funkcję zespoloną $f_{\omega}= e^{-i\omega t}$ , opisującą zawartość częstotliwościową sygnału. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera i jest kluczowa w analizie sygnałów.

Definicja i założenia

Definicja transformacji Fouriera w postaci zespolonej dla funkcji jednej zmiennej jest następująca:

$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$

Funkcja $f$ musi spełniać warunki Dirichleta, które obejmują:

Monotoniczność w skończonym przedziale $(a, b)$ .
Ciągłość z wyjątkiem skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju.

Transformacja odwrotna

Transformacja odwrotna pozwala na rekonstrukcję funkcji pierwotnej z jej widma:

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)e^{i\omega t} d\omega$

Widmo amplitudowe i fazowe

Transformata $\hat{f}(\omega)$ może być zapisana jako:

$\hat{f}(\omega)=|\hat{f}(\omega)|\cdot e^{i\theta(\omega)}$

gdzie $|\hat{f}(\omega)|$ to widmo amplitudowe, a $\theta(\omega)$ to widmo fazowe. Obliczenia dotyczące widma amplitudowego i fazowego opierają się na częściach rzeczywistych i urojonych transformaty.

Transformacja unitarna Fouriera

Transformacja unitarna różni się od standardowej tym, że zawiera czynnik $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ :

$\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$

Interpretacja częstotliwości ujemnych

W transformacji Fouriera częstotliwości $\omega$ mogą przyjmować wartości ujemne, co w kontekście analizy sygnałów oznacza obrót wektora w przeciwnym kierunku w płaszczyźnie zespolonej. Ujemne częstotliwości są interpretowane jako ruch w przeciwnym kierunku.

Własności transformaty Fouriera

Transformacja Fouriera ma szereg istotnych właściwości, w tym:

Jeżeli $g(x) = f(x – \alpha)$ , to $\hat{g}(\nu) = e^{-2 \pi i \alpha \nu} \hat{f}(\nu)$ .
Dla funkcji $f$ , której pochodna należy do $L^1$ , zachodzi $\hat{f’}(\nu) = 2\pi i \nu \hat{f}(\nu)$ .

Zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów

Transformacja Fouriera jest kluczowa w przetwarzaniu sygnałów, umożliwiając analizę zawartości harmonicznych w sygnale oraz obliczanie transmitancji układów dynamicznych poprzez złożenie harmonicznych składowych.