Teoria punktów stałych
Teoria punktów stałych to dział matematyki, który analizuje równania w postaci f(x)=x, gdzie f jest funkcją. Kluczowym zagadnieniem jest ustalenie, w jakich warunkach dla zbioru X oraz funkcji istnieje rozwiązanie tego równania, określane jako punkt stały. W teorii badane są również właściwości zbiorów rozwiązań.
Problematyka ta ma wiele wariantów, a jej analiza może być przeprowadzana w różnych kontekstach, takich jak:
- Przestrzenie topologiczne, metryczne lub uporządkowane.
- Funkcje o różnych właściwościach, np. ciągłe, zwężające lub monotoniczne.
- Funkcje działające z podzbiorów w całą przestrzeń, np. w kontekście alternatywy Leraya-Schaudera dla przestrzeni Banacha.
Teoria punktów stałych jest ściśle związana z innymi dziedzinami matematyki, takimi jak analiza, topologia czy teoria porządku. W ciągu XX wieku opracowano szereg twierdzeń dotyczących istnienia punktów stałych, z najsłynniejszym twierdzeniem Brouwera z 1910 roku oraz twierdzeniem Schaudera-Tichonowa dotyczących topologicznych własności zbiorów punktów stałych.
Miejsce wśród innych dyscyplin
Teoria punktów stałych nie jest odrębną kategorią w klasyfikacji MSC 2020, aczkolwiek pojawia się w kilku działach, takich jak:
- 32: Several complex variables and analytic spaces
- 37: Dynamical systems and ergodic theory
- 47: Operator theory
- 54: General topology
- 55: Algebraic topology
- 58: Global analysis, analysis on manifolds
Literatura
- Andrzej Granas, James Dugundji, [Fixed Point Theory], Springer-Verlag, New York 2003.
- Ravi P. Agarwal, Maria Meehan, Donal O’Regan, [Fixed Point Theory and Applications], Cambridge University Press, 2009.
