Tensor napięć-energii

Tensor energii-pędu

Tensor energii-pędu, znany również jako tensor napięć-energii, jest tensor drugiego rzędu stosowany w ogólnej teorii względności, gdzie odgrywa kluczową rolę w opisaniu źródeł zakrzywienia czasoprzestrzeni, które jest postrzegane jako grawitacja.

Definicja i właściwości

Składowe tensora energii-pędu są indeksowane w sposób następujący:

• $0$ – indeks czasowy,
• $1,\; 2,\; 3$ – indeksy przestrzenne.

Tensor ten jest symetryczny, co oznacza, że $T^\{\backslash alpha\; \backslash beta\}\; =\; T^\{\backslash beta\; \backslash alpha\}$. W niektórych alternatywnych teoriach, takich jak teoria Einsteina-Cartana, symetria ta może być naruszona.

Składowe tensora energii-pędu

Składowe tensora mają następujące znaczenie:

• T^{00} – gęstość energii,
• T^{a,0} oraz T^{0,a} (gdzie $a=1,2,3$) – gęstość pędu (pomnożona przez $c$),
• T^{a,b} (gdzie $a,b=1,2,3$) – tensor napięć, gdzie składowe diagonalne odpowiadają ciśnieniu, a pozadiagonalne naprężeniom ścinającym.

Postać macierzowa

Tensor energii-pędu można zapisać w postaci macierzy 4×4:

Przykłady zastosowania

Tensor energii-pędu można zdefiniować dla różnych układów:

• Cząstka izolowana: $T^\{\backslash alpha\; \backslash beta\}(\backslash mathbf\{x\},t)\; =\; \backslash frac\{m\; \backslash ,\; v^\backslash alpha(t)\; v^\backslash beta(t)\}\{\backslash sqrt\{1\; –\; (v/c)^2\}\}\; \backslash delta(\backslash mathbf\{x\}\; –\; \backslash mathbf\{x\}\_\backslash text\{p\}(t))$.
• M wiele cząstek: Tensor można uzyskać sumując tensory pojedynczych cząstek i dzieląc przez objętość, jaką zajmuje zbiór cząstek.
• Płyn idealny: $T^\{\backslash alpha\; \backslash beta\}\; =\; \backslash left(\backslash rho\; +\; \backslash frac\{p\}\{c^2\}\backslash right)u^\backslash alpha\; u^\backslash beta\; +\; p\; g^\{\backslash alpha\; \backslash beta\}$, gdzie $\backslash rho$ to gęstość masy-energii, a $p$ to ciśnienie.

Tensory dla pól fizycznych

Tensor energii-pędu dla pola elektromagnetycznego można opisać za pomocą:
$T^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\_0\}\; \backslash left(\; F^\{\backslash mu\; \backslash alpha\}\; g\_\{\backslash alpha\; \backslash beta\}\; F^\{\backslash nu\; \backslash beta\}\; –\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; g^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; F\_\{\backslash delta\; \backslash gamma\}\; F^\{\backslash delta\; \backslash gamma\}\; \backslash right)$.
Dla pola skalarnego $\backslash phi$, tensor przyjmuje inną formę, zależną od rozwiązania równania Kleina-Gordona.

Przybliżenie quasi-klasyczne

Przybliżenie to traktuje pole grawitacyjne klasycznie, a materię kwantowo, modyfikując równania Einsteina przez wprowadzenie średniego statystycznego tensora energii-pędu $\backslash langle\; T\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash rangle$, zależnego od funkcji falowej opisującej stan kwantowy materii.

Tensor energii-pędu jest kluczowy dla zrozumienia interakcji między materią a grawitacją oraz dla opisu różnych układów fizycznych w ramach teorii względności i teorii pola.