Reklama

Szereg potęgowy

Szereg potęgowy to funkcja opisana jako:

Reklama

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ lub $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z – z_0)^n$ ,

gdzie $a_n$ to ustalone współczynniki, a $z_0$ to środek szeregu. Rozwinięcie to zostało po raz pierwszy zastosowane przez Jamesa Stirlinga w 1717 roku.

Reklama

Zbieżność szeregu

Szereg potęgowy jest zbieżny w obrębie koła zbieżności $B_r(z_0) = \{z \in \mathbb{C} : |z – z_0| < r\}$ , gdzie $r$ to promień zbieżności. Poza tym kołem szereg jest rozbieżny. Dla $|z – z_0| = r$ szereg może być zbieżny w niektórych punktach.

Twierdzenia dotyczące promienia zbieżności

Promień zbieżności można obliczyć według wzorów:

$r = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
$r = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}$ (kryterium d’Alemberta)

Własności szeregu potęgowego

Szereg potęgowy jest funkcją holomorficzną, co oznacza, że jest nieskończenie różniczkowalny w obrębie koła zbieżności. Posiada następujące cechy:

Jest ciągły i zbieżny jednostajnie na zwartym podzbiorze koła zbieżności.
Pochodna szeregu to $f'(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n n(z – z_0)^{n-1}$ .
Szereg potęgowy ma pochodne dowolnego rzędu wewnątrz koła zbieżności.

Działania na szeregach potęgowych

Na szeregach potęgowych można wykonywać różne operacje:

Dodawanie: $f(z) + g(z) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n)(z – z_0)^n$ .
Mnożenie: $f(z)g(z) = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}(z – z_0)^n$ .
Dzielenie: $\frac{f(z)}{g(z)} = \sum_{n=0}^\infty c_n (z – z_0)^n$ , gdzie współczynniki $c_n$ można wyznaczyć z porównania współczynników.