Szereg harmoniczny

Szereg harmoniczny

Szereg harmoniczny to nieskończony szereg liczbowy przedstawiony jako:

$\backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n\}=1+\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash ldots$

Sumy częściowe szeregu harmonicznego, oznaczane jako $H\_n$, definiuje się jako:

$H\_n\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\}.$

Nazwa „szereg harmoniczny” pochodzi od faktu, że każdy wyraz od drugiego w serii jest średnią harmoniczną dwóch sąsiednich wyrazów.

Grupując składniki szeregu w trójki, można zauważyć, że:

$1+\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash right)+\backslash left(\backslash frac\{1\}\{5\}+\backslash frac\{1\}\{6\}+\backslash frac\{1\}\{7\}\backslash right)+\backslash ldots$

Oszacowania dla sum częściowych pokazują, że:

• $\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{4\}\; >\; 1$
• $\backslash frac\{1\}\{5\}+\backslash frac\{1\}\{6\}+\backslash frac\{1\}\{7\}\; >\; \backslash frac\{1\}\{2\}$
• $\backslash frac\{1\}\{3k-1\}+\backslash frac\{1\}\{3k\}+\backslash frac\{1\}\{3k+1\}\; >\; \backslash frac\{1\}\{k\}$

To prowadzi do wniosku, że ciąg sum częściowych $H\_i$ nie jest zbieżny.

Dowód rozbieżności

Dowód Bradleya z 2000 roku stwierdza, że dla każdej liczby $x\; >\; -1$ zachodzi nierówność:

$x\; \backslash geqslant\; \backslash ln(x\; +\; 1).$

W związku z tym, dla sumy $H\_n$ można oszacować:

$H\_n\; \backslash geqslant\; \backslash ln(n+1).$

W rezultacie:

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; H\_n=\; \backslash infty.$

Ciąg liczb harmonicznych

Ciąg liczb harmonicznych $(H\_n)$ jest rozbieżny, rośnie jednak powoli, a jego wzrost opisuje zależność:

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (H\_n\; –\; \backslash ln(n))\; =\; \backslash gamma,$
gdzie $\backslash gamma$ to stała Eulera.

Dokładniejsze oszacowanie $H\_n$ można przedstawić jako:

$H\_n\; =\; \backslash ln\; n\; +\; \backslash gamma\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\; n\}\; –\; \backslash frac\{1\}\{12\; n^2\}\; +\; O\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{n^4\}\backslash right).$

Uogólnienia

Uogólniony szereg harmoniczny:

$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{an+b\}$

jest rozbieżny dla $a\; \backslash ne\; 0$.

Euler udowodnił również rozbieżność szeregu:

$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\},$
gdzie $p\_n$ to n-ta liczba pierwsza.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szereg harmoniczny rzędu $\backslash alpha$ ma postać:

$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^\backslash alpha\}.$

Jest zbieżny dla $\backslash alpha\; >\; 1$ i rozbieżny dla $\backslash alpha\; \backslash leq\; 1$.

Funkcja dzeta Riemanna:

$\backslash zeta(\backslash alpha)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^\backslash alpha\}$

ma kluczowe znaczenie w teorii liczb, związana jest z hipotezą Riemanna.

Szereg naprzemienny:

$\backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{n\; +\; 1\}\}\{n\}\; =\; \backslash ln\; 2.$

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo.