Reklama

Szereg geometryczny

Szereg geometryczny ma postać:

Reklama

$\sum_{n=1}^\infty aq^{n-1}$ , gdzie $a, q \in \mathbb{R}$ . Wartość $a$ to pierwszy wyraz szeregu, a $q$ to iloraz szeregu.

Sumę pierwszych $n$ wyrazów szeregu nazywamy n-tą sumą częściową:

Reklama

$S_n = a + aq + \ldots + aq^{n-1} = a \frac{1 – q^n}{1 – q} \quad \text{dla} \quad q \ne 1,$

$S_n = na \quad \text{dla} \quad q = 1.$

Szereg geometryczny $\sum_{n=1}^\infty aq^{n-1}$ jest zbieżny, gdy:

W przypadku zbieżności suma szeregu wyraża się wzorem:

$\sum_{n=1}^\infty aq^{n-1} = \frac{a}{1-q}.$

1. Dla $|q| < 1$ mamy:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-q} \quad \text{(gdyż} \quad q^n \to 0\text{)}.$

2. Dla $a = 0$ :

$S_n = 0 \quad \text{dla każdego} \quad n, \quad \lim_{n \to \infty} S_n = 0.$

3. Jeśli $|q| > 1$ , szereg jest rozbieżny, a dla $q = 1$ :

$\lim_{n \to \infty} S_n = \infty.$

4. Dla $q = -1$ , granica $S_n$ nie istnieje, ponieważ:

$S_n = a \quad \text{(gdy} \quad n \text{ jest nieparzyste) lub} \quad S_n = 0 \quad \text{(gdy} \quad n \text{ jest parzyste)}.$

Rozważmy nieskończony szereg geometryczny:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.$

W tym przypadku iloraz $q = \frac{1}{2}$ , a pierwszy wyraz $a_1 = 1$ . Zatem:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = 2.$

Wynik ten ilustruje załączona grafika.

Reklama

Najnowsze aktualności:

Reklama