Szereg Fouriera

Szereg Fouriera

Szereg Fouriera to narzędzie matematyczne, które pozwala rozłożyć funkcję okresową lub nieokresową na sumę funkcji trygonometrycznych. Wprowadzony przez Josepha Fouriera w 1807 roku, szereg ten umożliwia rozwiązanie równań różniczkowych cząstkowych, takich jak równanie przewodnictwa ciepła. W 1829 roku Dirichlet ustalił warunki, które muszą być spełnione, aby szereg Fouriera był zbieżny.

Definicje szeregu Fouriera

Definicja trygonometryczna

Niech $f\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ będzie funkcją okresową o okresie $T\; >\; 0$. Trygonometryczny szereg Fouriera funkcji $f$ ma postać:

$S(x)\; =\; \backslash frac\{a\_0\}\{2\}\; +\; \backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash left[\; a\_n\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{2\backslash pi\}\{T\}\backslash ,\; nx\; \backslash right)\; +\; b\_n\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{2\backslash pi\}\{T\}\; \backslash ,\; nx\; \backslash right)\; \backslash right]$

gdzie współczynniki $a\_n$ i $b\_n$ są definiowane jako:

$a\_n\; =\; \backslash frac\{2\}\{T\}\; \backslash int\_\{-T/2\}^\{T/2\}\; f(x)\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{2\backslash pi\}\{T\}\; \backslash ,\; nx\; \backslash right)\; dx,\; \backslash quad\; b\_n\; =\; \backslash frac\{2\}\{T\}\; \backslash int\_\{-T/2\}^\{T/2\}\; f(x)\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{2\backslash pi\}\{T\}\; \backslash ,\; nx\; \backslash right)\; dx.$

Definicja zespolona

Dla funkcji okresowej $f\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ o okresie $T\; >\; 0$, zespolony szereg Fouriera ma postać:

$S(x)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; c\_n\; e^\{in\backslash omega\; x\}$

gdzie $c\_n$ jest określone jako:

$c\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{T\}\; \backslash int\_\{-T/2\}^\{T/2\}\; f(x)\; e^\{-in\backslash omega\; x\}\; dx$

Warunki zbieżności

Twierdzenie Dirichleta stwierdza, że jeśli funkcja jest ograniczona i ciągła w przedziale , lub ma nieciągłości najwyższego 1-go rodzaju, to szereg Fouriera zbiega do funkcji w punktach ciągłości oraz do wartości połowy sumy granic lewo- i prawostronnej w punktach nieciągłości.

Szereg Fouriera funkcji nieokresowej

Funkcję nieokresową $s(x)$ na przedziale $[-\backslash tfrac\{L\}\{2\},\; \backslash tfrac\{L\}\{2\}]$ można rozwinąć w szereg Fouriera, traktując ją jak funkcję okresową o okresie $T=L$. Szereg Fouriera pozostaje funkcją okresową, mimo że oryginalna funkcja nie jest okresowa.

Dokładność aproksymacji i efekt Gibbsa

Dokładność aproksymacji funkcji poprzez szereg Fouriera zależy od liczby wyrazów $N$. W miejscach nieciągłości może wystąpić efekt Gibbsa, polegający na oscylacjach wokół wartości funkcji.

Widmo i amplitudy składowych harmonicznych

Współczynniki $a\_n$ i $b\_n$ reprezentują amplitudy składowych harmonicznych $\backslash cos(n\backslash omega\; x)$ oraz $\backslash sin(n\backslash omega\; x)$, zbiór tych współczynników określa się jako widmo funkcji.

Przykłady obliczeń numerycznych

Można zastosować program w języku Python do obliczenia współczynników szeregu Fouriera i wizualizacji funkcji oraz jej aproksymacji. Użytkownik ma możliwość ustalenia zakresu oraz liczby wyrazów w szeregu.

Podsumowanie

Szereg Fouriera jest fundamentalnym narzędziem w matematyce, znajdującym zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, w tym w fizyce i teorii sygnałów. Dzięki różnym definicjom i podejściom, jak zespolona forma czy analiza harmoniczna, umożliwia efektywne rozwiązywanie równań i analizy funkcji.