Sympleks (matematyka)

Sympleks

Sympleks to uogólnienie odcinka, trójkąta i czworościanu w dowolnych wymiarach. W $k$-wymiarowej przestrzeni nazywamy go wypukłym wielościanem, który jest otoczką swoich $k+1$ wierzchołków.

Definicja w przestrzeni liniowej

Niech $x\_0,\; x\_1,\; ldots,\; x\_k$ będą liniowo niezależnymi wektorami w $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej. Sympleks $S$ o wierzchołkach $x\_0,\; x\_1,\; ldots,\; x\_k$ jest zbiorem wektorów zdefiniowanym jako:

$S\; =\; \{r\_0\; x\_0\; +\; r\_1\; x\_1\; +\; ldots\; +\; r\_k\; x\_k\; :\; r\_i\; geq\; 0,\; sum\_\{i=0\}^\{k\}\; r\_i\; =\; 1\}.$

Definicja w przestrzeni afinicznej

W przestrzeni afinicznej, sympleks $S$ o wierzchołkach $p\_0,\; p\_1,\; ldots,\; p\_k$ jest zbiorem punktów:

$S\; =\; \{p\; +\; r\_0\; overrightarrow\{pp\_0\}\; +\; r\_1\; overrightarrow\{pp\_1\}\; +\; ldots\; +\; r\_k\; overrightarrow\{pp\_k\}\; :\; r\_i\; geq\; 0,\; sum\_\{i=0\}^\{k\}\; r\_i\; =\; 1\}.$

Przestrzeń euklidesowa

W przestrzeni euklidesowej:

• sympleks zerowymiarowy to punkt,
• sympleks jednowymiarowy to odcinek,
• sympleks dwuwymiarowy to trójkąt,
• sympleks trójwymiarowy to czworościan,
• sympleks czterowymiarowy to 5-komórka.

Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym

Funkcja $N(n,\; k)$ określa liczbę sympleksów $k$-wymiarowych w $n$-wymiarowym sympleksie:

Środek masy sympleksu

Środek masy sympleksu $S\_n$ to średnia arytmetyczna współrzędnych wszystkich wierzchołków:

$S\_n\; =\; frac\{1\}\{n+1\}\; sum\_\{k=1\}^\{n+1\}\; P\_k.$

Miara główna sympleksu foremnego

Miara główna $X\_n$ $n$-wymiarowego sympleksu foremnego to:

$X\_n\; =\; frac\{x^n\}\{n!\}\; sqrt\{frac\{n+1\}\{2^n\}\}.$

Rekurencyjna zależność na miarę główną:

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Całkowita miara $X\_\{kn\}$ $n$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ jest równa:

$X\_\{kn\}\; =\; N(n,\; k)\; cdot\; X\_k\; =\; \{n+1\; choose\; k+1\}\; cdot\; frac\{x^k\}\{k!\}\; sqrt\{frac\{k+1\}\{2^k\}\}.$

W miarę wzrostu wymiaru, miara całkowita dąży do nieskończoności:

$lim\_\{n\; to\; infty\}\; X\_\{kn\}\; =\; infty.$