Symetria w matematyce
Symetria, pochodząca z greckiego słowa symmetria, odnosi się do właściwości obiektów, które zachowują swoje cechy pod pewnymi przekształceniami. W kontekście matematycznym, symetria obejmuje szerszy zakres niż w potocznym rozumieniu, które często dotyczy lustrzanych odbić. W matematyce symetria oznacza, że dany obiekt może być przekształcany w taki sposób, że pozostaje niezmienny. Przykładami takich przekształceń są obroty, odbicia oraz transformaty.
Rodzaje symetrii geometrycznych
W matematyce wyróżnia się kilka typów symetrii, w tym:
- Symetria środkowa – odbicie względem punktu.
- Symetria osiowa – odbicie względem prostej.
- Symetria płaszczyznowa – odbicie względem płaszczyzny.
- Symetria obrotowa – obrót wokół punktu.
- Symetria z obrotem – połączenie odbicia i obrotu.
- Symetria sferyczna – dowolny obrót bryły.
- Symetria parzysta i nieparzysta – złożenie symetrii osiowych.
- Symetria ukośna – uogólnienie symetrii osiowej.
Ogólnienie symetrii
Ogólną definicją symetrii jest przekształcenie, które zachowuje pewną hiperpłaszczyznę punktów stałych. W zależności od wymiaru hiperpłaszczyzny, mamy:
- Symetria środkowa (hiperpłaszczyzna jako punkt).
- Symetria osiowa (hiperpłaszczyzna jako prosta).
- Symetria płaszczyznowa (hiperpłaszczyzna jako płaszczyzna).
Przykłady symetrii
Grupa symetrii kwadratu składa się z ośmiu przekształceń: czterech obrotów i czterech symetrii osiowych. Symetria jest również obecna w obiektach niegeometrycznych, takich jak równania czy macierze, które mogą być symetryczne względem głównej przekątnej. Przykładem macierzy symetrycznej jest:
W kontekście samopodobieństwa, istnieje przekształcenie części zbioru na cały zbiór, co można zobaczyć w fraktalach, takich jak trójkąt Sierpińskiego.
