Reklama
Dzisiaj jest 10 stycznia 2025 r.
Chcę dodać własny artykuł
Reklama
Reklama
Reklama

Symbol Newtona

Symbol Newtona

Symbol Newtona, znany również jako współczynnik dwumianowy, jest funkcją dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, definiowaną jako:

Reklama

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} dla 0 \leqslant k \leqslant n.

Można go odczytać jako „n nad k” lub „n po k”. Symbol ten również można wyrazić wzorem rekurencyjnym:

Reklama

{n \choose k} = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } k=0 \mbox{ lub } k=n \\ {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} & \mbox{dla } 0 < k < n \end{cases}

Własności symbolu Newtona

Symbol Newtona odpowiada liczbie wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego. Oznaczenia te to m.in. C^k_n oraz {}^nC_k, {}_nC_k.

Pochodzenie wzoru rekurencyjnego

Kombinacje k-elementowe z n-elementowego zbioru można klasyfikować na te, które zawierają dany element oraz te, które go nie zawierają. Z tego wynika wzór rekurencyjny:

C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k dla 0 < k < n.

Tożsamości algebraiczne

Wartości symbolu Newtona mają wiele tożsamości, m.in.:

  • {n \choose k} = {n \choose n-k}
  • {n \choose 0} = {n \choose n} = 1
  • \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n

Trójkąt Pascala

Wartości symbolu Newtona można przedstawić w postaci trójkąta Pascala, gdzie każdy wyraz (oprócz skrajnych) jest sumą dwóch wyrazów z poprzedniego wiersza.

Obliczanie symbolu Newtona

Istnieje kilka metod obliczania wartości współczynnika Newtona, w tym:

  • Metoda iteracyjna, oparta na uproszczonym wzorze:

    • {n \choose k} = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdot\ldots\cdot k}

  • Metoda rekurencyjna, oparta na wzorze rekurencyjnym.

Uogólnienie na wielomiany wyższych stopni

Współczynniki dwumienne można uogólnić do współczynników wielomianowych:

{n \choose k_1,k_2,\dots,k_r} =\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_r!}, przy czym \sum_{i=1}^rk_i=n.

Uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone

Symbol Newtona można uogólnić na liczby rzeczywiste i zespolone, korzystając z funkcji gamma:

{z \choose n} = \prod_{k=1}^n\frac{z-n+k}{k}.

Przypisy i linki zewnętrzne

Linki zewnętrzne oraz przypisy są dostępne w pełnej wersji dokumentu.

Reklama
Reklama