Symbol Leviego-Civity

Symbol Leviego-Civity

Symbol Leviego-Civity, będący antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, definiuje się następująco:

• 0, gdy dwa lub więcej indeksów są równe;
• 1, gdy indeksy są parzystą permutacją;
• -1, gdy indeksy są nieparzystą permutacją.

Nazwa symbolu pochodzi od włoskiego matematyka Tullia Leviego-Civity. W rachunku tensorowym można go stosować w kontekście iloczynu wektorowego:

$\backslash vec\; c\; =\; \backslash vec\; a\; \backslash times\; \backslash vec\; b\; =\; \backslash vec\{e\}\_i\; \backslash epsilon\_\{ijk\}a\_j\; b\_k$

Związek z symbolami Kroneckera

W kontekście podwójnego iloczynu wektorowego oraz wektorów bazy kartezjańskiej, symbole Leviego-Civity i Kroneckera są ze sobą powiązane. Przykładowo, dla wektorów bazy kartezjańskiej:

$\backslash vec\{e\}\_1\; =\; (1,0,0),\; \backslash vec\{e\}\_2\; =\; (0,1,0),\; \backslash vec\{e\}\_3\; =\; (0,0,1)$

Można zdefiniować:

$\backslash vec\{e\}\_i\; \backslash times\; \backslash vec\{e\}\_j\; =\; \backslash vec\{e\}\_p\backslash epsilon\_\{pij\}$

Dzięki ortonormalności tych wektorów, zachodzi również relacja:

$\backslash epsilon\_\{pil\}\backslash epsilon\_\{ljk\}\; =\; \backslash delta\_\{pj\}\backslash delta\_\{ik\}-\backslash delta\_\{pk\}\backslash delta\_\{ij\}$

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity

Symbol Leviego-Civity ma praktyczne zastosowania w różnych twierdzeniach. Oto dwa przykłady:

• Twierdzenie 1:
  $\backslash nabla\; \backslash times\; (f\; \backslash vec\; a)\; =\; (\backslash nabla\; f)\; \backslash times\; \backslash vec\; a\; +\; f(\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; a)$
• Twierdzenie 2:
  $\backslash nabla(\backslash vec\; a\; \backslash times\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash vec\; b\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; a)\; –\; \backslash vec\; a\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; b)$

Przykłady wartości symbolu

• $\backslash epsilon\_\{112\}\; =\; 0$, ponieważ powtarza się wartość indeksu;
• $\backslash epsilon\_\{123\}\; =\; 1$, parzysta permutacja;
• $\backslash epsilon\_\{312\}\; =\; 1$, parzysta permutacja;
• $\backslash epsilon\_\{213\}\; =\; -1$, nieparzysta permutacja.