Symbol Legendre’a

Symbol Legendre’a

Symbol Legendre’a, oznaczany jako $(a|p)$ lub $\backslash left(\; \backslash frac\{a\}\{p\}\; \backslash right)$, to funkcja multiplikatywna wykorzystywana w teorii liczb. Został wprowadzony przez Pierre’a Simon de Laplace’a w 1798 roku, a jego uogólnieniem jest symbol Jacobiego.

Definicja

Niech $p>2$ będzie liczbą pierwszą. Liczba $a$, która nie jest wielokrotnością $p$, jest nazywana resztą kwadratową modulo $p$, jeśli istnieje całkowita liczba $t$ spełniająca warunek $a\; \backslash equiv\; t^2\; \backslash pmod\; p.$ Tę własność oznaczamy jako $a\backslash mathrm\{R\}p.$ Jeśli taka liczba $t$ nie istnieje, $a$ jest określana jako niereszta kwadratowa modulo $p$.

Własność dotycząca symbolu Legendre’a można zapisać w postaci:

$p\; \backslash neq\; q\; \backslash Rightarrow\; \backslash left(\; \backslash frac\; q\; p\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash frac\; p\; q\; \backslash right)\; =\; (-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\backslash frac\{q-1\}\{2\}\}.$

Jest to tzw. I uzupełnienie prawa wzajemności, będące wnioskiem z kryterium Eulera.

Przypisy

Brak dodatkowych przypisów.

Linki zewnętrzne

• Kalkulator symbolu Legendre’a
• Legendre symbol, Encyclopedia of Mathematics, dostęp 2024-02-02.

Kategoria: Teoria liczb