Suma statystyczna

Suma statystyczna w mechanice statystycznej

Suma statystyczna, oznaczana jako $Z$, jest kluczowym pojęciem w mechanice statystycznej, umożliwiającym obliczenie równowagowych funkcji stanu. Wyraża się wzorem:

$Z=\backslash sum\_\backslash sigma\; \backslash exp\; (-\backslash beta\; E\_\backslash sigma\; )\; =\; \backslash sum\_\backslash sigma\; \backslash exp\; \backslash left(-\backslash frac\{E\_\backslash sigma\}\{k\_B\; T\}\backslash right).$

W powyższym wzorze:

• $\backslash Sigma\_\backslash sigma$ – suma po stanach mikroskopowych,
• $\backslash sigma$ – indeks stanu mikroskopowego,
• $E\_\backslash sigma$ – energia stanu mikroskopowego,
• $\backslash beta=1/(k\_BT)$,
• $k\_B$ – stała Boltzmanna,
• $T$ – temperatura w skali Kelvina.

Przykładowo, energia swobodna układu wyraża się jako:

$F=-k\_B\; T\; \backslash ln(Z).$

Suma statystyczna w mechanice kwantowej

W kontekście mechaniki kwantowej, analogiem sumy statystycznej jest ślad macierzy operatora gęstości stanów, który wyraża się wzorem:

$Z=\backslash rm\{Tr\}(e^\{-\backslash beta\; (\backslash hat\{H\}-\backslash mu\; \backslash hat\{N\})\}).$

Wartość średnia z obserwabli jest zdefiniowana jako:

$\backslash langle\; A\backslash rangle=\backslash rm\{Tr\}(\backslash hat\{\backslash rho\}\; \backslash hat\{A\}),$

gdzie:

• $\backslash hat\{\backslash rho\}=\backslash frac\{1\}\{Z\}\; e^\{-\backslash beta\; (\backslash hat\{H\}-\backslash mu\; \backslash hat\{N\})\}$,
• $\backslash hat\{H\}$ – hamiltonian układu fizycznego,
• $\backslash mu$ – potencjał chemiczny,
• $\backslash hat\{N\}$ – operator liczby cząstek (jeżeli w układzie jest zachowana liczba cząstek).

Podsumowanie

Suma statystyczna jest istotnym narzędziem w analizie zachowań układów fizycznych w mechanice statystycznej i kwantowej, umożliwiającym obliczenia związane z równowagowymi funkcjami stanu oraz wartościami średnimi obserwabli.