Styczna

Definicja stycznej

Styczna do krzywej w punkcie jest prostą, która jest granicznym przypadkiem siecznych przechodzących przez ten punkt, gdy drugi punkt zbliża się do pierwszego. Dla krzywej zdefiniowanej funkcją ciągłą, równanie stycznej można wyrazić jako:

$y\; –\; y\_0\; =\; f\text{'}(x\_0)(x\; –\; x\_0).$

Równania i długości odcinków

Niech punkt Q będzie rzutem punktu P na oś x. Wówczas:

• Punkt R to miejsce przecięcia stycznej z osią x: $x\_0\; –\; \backslash frac\{y\_0\}\{f\text{'}(x\_0)\}$.
• Punkt T to miejsce przecięcia normalnej z osią x: $x\_0\; +\; y\_0\; f\text{'}(x\_0).$

Długości odcinków są określone następująco:

• Długość stycznej: $|PR|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{y\_0\}\{f\text{'}(x\_0)\}\backslash right|\; \backslash sqrt\{1\; +\; (f\text{'}(x\_0))^2\}.$
• Długość normalnej: $|PT|\; =\; |y\_0|\; \backslash sqrt\{1\; +\; (f\text{'}(x\_0))^2\}.$
• Podstyczna: $|RQ|\; =\; \backslash left|\backslash frac\{y\_0\}\{f\text{'}(x\_0)\}\backslash right|.$
• Podnormalna: $|QT|\; =\; |y\_0\; f\text{'}(x\_0)|.$

Styczna do okręgu

Dla okręgu, styczna to prosta mająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Jest prostopadła do promienia, który kończy się w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

Niech punkty B i C będą punktami styczności do okręgu o dwóch prostych, które przecinają się w punkcie A. Wówczas zachodzi:

$|AB|\; =\; |AC|.$

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Kąt między styczną a sieczną jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód: Rozważając kąty wpisane oparte na łuku, można udowodnić, że kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ o kąt między styczną a sieczną, co potwierdza tezę.