Struktura matematyczna
Struktura matematyczna to kluczowe pojęcie w matematyce, definiowane w różnorodny sposób w zależności od kontekstu. Zazwyczaj odnosi się do zbioru X, który jest nośnikiem tej struktury. Istnieje kilka typów struktur matematycznych:
- Struktury algebraiczne – obejmują jedynie symbole funkcji i stałych. Przykładem jest struktura grupy na zbiorze G, definiowana poprzez działanie grupowe, które spełnia aksjomaty grupy. Istnieją również struktury algebraiczne definiowane równościowo, takie jak grupa, grupa abelowa czy pierścień.
- Struktury porządkowe – definiowane przez relacje uporządkowania, np. częściowy porządek. Dla zbioru częściowo uporządkowanego (X, \leqslant), relacja ≤ jest strukturą, a X jej nośnikiem.
- Struktury topologiczne – typowym przykładem jest przestrzeń topologiczna, gdzie struktura to rodzina zbiorów otwartych w X.
- Struktury mieszane – dzielą się na dwa rodzaje:
- połączenie różnych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna;
- struktury z elementami spoza uniwersum generowanego przez X, takie jak przestrzenie metryczne czy algebry nad ciałami.
Definicje i izomorfizm
Bourbaki dostarczył rygorystyczną definicję struktury i izomorfizmu struktur, jednak okazała się ona zbyt skomplikowana i nieprzydatna w praktyce. Przykładowo, nie rozstrzyga ona, czy różne definicje prowadzą do tej samej struktury, co jest istotne w teorii topologii.
Bibliografia
- Zbigniew Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.
- P. van Hiele, Structure and Insight, Orlando et al, Academic Press, 1986.
