Statystyka Fermiego-Diraca

Statystyka Fermiego-Diraca

Statystyka Fermiego-Diraca dotyczy fermionów, które są cząstkami o spinie połówkowym. Kluczowym założeniem jest zakaz Pauliego, który stwierdza, że w danym stanie kwantowym może znajdować się tylko jeden fermion. Ta statystyka opiera się na koncepcji nierozróżnialności cząstek i została wyprowadzona niezależnie przez Enrico Fermiego i Paula Diraca w 1926 roku.

Rozkład Fermiego-Diraca

Średnia liczba cząstek w stanie energetycznym $E$ opisana jest równaniem:

$\backslash langle\; n\; \backslash rangle\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash beta\; (E-\backslash mu)\}+1\},$

gdzie:

• $E$ – energia stanu,
• $\backslash mu$ – potencjał chemiczny,
• $\backslash beta\; =\; 1/(k\_\backslash mathrm\{B\}T),$
• $k\_\backslash mathrm\{B\}$ – stała Boltzmanna,
• $T$ – temperatura bezwzględna (w skali Kelvina).

Rozkład dla elektronów

Rozkład Fermiego-Diraca opisuje obsadzenie poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym, takim jak gaz elektronów w metalach i półprzewodnikach. Zgodnie z zakazem Pauliego, w każdym stanie kwantowym może znajdować się najwyżej jeden elektron, a każdy poziom energetyczny może być zajęty przez dwa elektrony o przeciwnych spinach.

W temperaturze wyższej od zera bezwzględnego, prawdopodobieństwo $P$ obsadzenia stanu o energii $E\_k$ maleje wraz ze wzrostem energii. Zależność ta wyraża funkcja rozkładu:

$P(E\_k)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash beta\; (E\_k-\backslash mu)\}+1\}.$

W temperaturze zera bezwzględnego, potencjał chemiczny oznaczany jest jako $\backslash mu\; =\; \backslash mu\; (0)\; =\; E\_\backslash mathrm\{F\},$ co odpowiada energii najwyżej obsadzonego stanu. Przy tej temperaturze obsadzone są wszystkie stany o energii mniejszej lub równej energii Fermiego $(E\_\backslash mathrm\{F\}),$ a stany o wyższej energii pozostają nieobsadzone.

Dla każdej temperatury $T$ zachodzi sytuacja, w której $P(E\_k)=0\{,\}5$, gdy $E\_k\; =\; \backslash mu.$ W przypadku, gdy $E\_k\; –\; \backslash mu\; \backslash gg\; k\_\backslash mathrm\{B\}\; T$, rozkład przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmanna:

$P(E\_k)\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash beta\; (E\_k-\backslash mu)\}\}\; =\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\; \backslash beta\; (E\_k-\backslash mu)\}.$