Stała Feigenbauma

Stała Feigenbauma

Stała Feigenbauma, oznaczana jako δ, odnosi się do zbieżności bifurkacji w ciągu iteracyjnym opisanym równaniem $x\_\{n+1\}\; =\; \backslash mu\; f(x\_n)$. Odkryta w 1978 roku przez Mitchella Feigenbauma, stała ta wskazuje na zjawisko, w którym dla pewnych wartości $x\_0$ i ustalonej wartości $\backslash mu$, ciąg ten osiąga granice.

Bifurkacje i ich znaczenie

Dla wielu funkcji $f$ liczba granic ciągu $x\_n$ zwiększa się skokowo wraz ze wzrostem wartości $\backslash mu$. Oznaczamy przez $\backslash mu\_n$ ciąg wartości $\backslash mu$, dla których liczba granic wzrasta. Istnieje granica:

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\backslash frac\; \{\backslash mu\_\{n+1\}-\backslash mu\_n\}\{\backslash mu\_\{n+2\}-\backslash mu\_\{n+1\}\}.$

Feigenbaum odkrył, że ta granica jest stała i wynosi $\backslash delta\; =\; 4\{,\}66920160910299067185320383\backslash dots$.

Uniwersalność stałej

Stała Feigenbauma występuje w wielu różnorodnych zjawiskach, takich jak:

• przepływy turbulentne
• oscylacje w rezonatorach kwarcowych
• reakcje chemiczne
• fraktale

W szczególności, stała ta pojawia się we wszystkich funkcjach ściśle wklęsłych na określonym przedziale A, które mają jedno maksimum i odwzorowują ten przedział w siebie. Ze względu na to, że wiele zjawisk przyrodniczych można opisać takimi funkcjami, stała Feigenbauma zyskuje na popularności w naukach przyrodniczych.

Chaos i bifurkacje

W analizie dynamiki, dla pewnych wartości parametru $\backslash mu$, zachowanie atraktora może stać się chaotyczne. Istnieje zbiór wartości $\backslash mu$, w którym występują chaotyczne atraktory, przerywany przez przedziały, w których zachodzą kolejne bifurkacje podwojeń okresu. W miarę wzrostu wartości $\backslash mu$ następuje przejście do chaosu przez kaskadę bifurkacji.

Podsumowanie

Stała Feigenbauma jest kluczowym elementem w teorii chaosu, ukazującym, jak złożoność i porządek mogą współistnieć w różnych systemach dynamicznych. Jej uniwersalność sprawia, że ma zastosowanie w wielu dziedzinach nauki.