Reklama

Środek odcinka

Środek odcinka to punkt, który jest równo oddalony od jego końców. W geometrii euklidesowej pełni on rolę zarówno środka symetrii, jak i miejsca przecięcia osi symetrii odcinka.

Reklama

Geometria syntetyczna

Istnieją różne metody konstrukcji środka odcinka, które można podzielić na trzy główne podejścia:

Sposób I (symetralna): Konstrukcja symetralnej odcinka, gdzie środek wyznacza punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.
Sposób II (twierdzenie Talesa): Użycie dodatkowego punktu oraz równoległych prostych do wyznaczenia środka odcinka.
Sposób III (przecięcie przekątnych równoległoboku): Konstrukcja równoległoboku, w którym środek odcinka można znaleźć w punkcie przecięcia jego przekątnych.

Geometrie metryczne

Środek odcinka można definiować w różnych geometriach metrycznych, takich jak geometria hiperboliczna czy eliptyczna, gdzie każdy odcinek ma dwa środki. W geometriach tych pojęcie środka jest ściśle związane z symetralną odcinka.

Reklama

Geometria afiniczna

W geometrii afinicznej środek odcinka również istnieje, mimo że związek z symetralną zanika. Istnieje jednoznaczny środek dla każdego odcinka, a jego właściwości związane są z równoległobokiem oraz twierdzeniem o przekątnych.

Własności

Środek odcinka jest niezmiennikiem izometrii oraz podobieństw w geometrii euklidesowej. Oznacza to, że izometria i podobieństwa zachowują jego położenie.

Geometria analityczna

W przestrzeni afinicznej pojęcie środka odcinka można wprowadzić bez użycia metryki. Dla punktów o współrzędnych $(x_1, y_1)$ oraz $(x_2, y_2)$ , środek odcinka to punkt o współrzędnych $\left(\tfrac{1}{2}(x_1 + x_2), \tfrac{1}{2}(y_1 + y_2)\right).$

Aksjomatyzacja

W zbiorze $G$ można wprowadzić aksjomatyczne pojęcie środka odcinka, definiując operację jako działanie dwuargumentowe spełniające określone aksjomaty, co prowadzi do utworzenia algebry środka.