Siła Lorentza

Siła Lorentza

Siła Lorentza to siła działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu elektromagnetycznym. Została opisana przez Hendrika Lorentza. Wzór na tę siłę przedstawia się następująco:

$\backslash mathbf\{F\}\; =\; q\; (\backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}),$

gdzie:

• $\backslash mathbf\{F\}$ – wektor siły (N),
• $q$ – ładunek elektryczny (C),
• $\backslash mathbf\{E\}$ – natężenie pola elektrycznego (V/m),
• $\backslash mathbf\{B\}$ – indukcja magnetyczna (T),
• $\backslash mathbf\{v\}$ – prędkość cząstki (m/s).

Jeżeli rozważamy tylko składową magnetyczną, wzór upraszcza się do:

$\backslash mathbf\{F\}\; =\; q\; (\backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}).$

Siła Lorentza w ośrodkach ciągłych

W ośrodkach ciągłych ładunek elektryczny wyraża się przez gęstość $\backslash rho$, a natężenie prądu przez gęstość prądu $\backslash mathbf\{J\}$. Wówczas siłę Lorentza można opisać równaniem:

$\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash int\backslash limits\_V\; (\; \backslash rho\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{J\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\})\; dV.$

Składowa magnetyczna tej siły w przypadku przewodników z prądem nazywana jest siłą elektrodynamiczną.

Czterowektor siły Lorentza

Czterowektor siły Lorentza w elektrodynamice klasycznej wyraża się wzorem:

$K^\backslash mu=-qu\_\backslash nu\; F^\{\backslash mu\backslash nu\}=qu\_\backslash nu\; F^\{\backslash nu\backslash mu\},$

gdzie:

• $u\_\backslash nu$ – kowariantny czterowektor prędkości,
• $F^\{\backslash mu\backslash nu\}$ – tensor pola elektromagnetycznego,
• $\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}$ – tensor metryczny Minkowskiego.

Wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego, można obliczyć czterowektor siły:

$K^\backslash mu=\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\{p\}\backslash cdot\backslash vec\{F\}\}\{E\}\backslash gamma,\backslash frac\{\backslash gamma\}\{c\}\backslash vec\{F\}\backslash right),$

gdzie $\backslash vec\{F\}$ to wektor siły Lorentza, $\backslash vec\{p\}$ to wektor pędu, a $E$ to całkowita energia cząstki.

Siła Lorentza w szczególnej teorii względności

W szczególnej teorii względności zależność między siłą a pędem pozostaje aktualna:

$\backslash mathbf\{F\}=\; \backslash frac\; \{d\; \backslash mathbf\{p\}\}\; \{dt\}.$

Siła Lorentza opisana jest równaniem:

$\backslash mathbf\{F\}\; =\; m\backslash frac\{d\; \backslash left(\; \backslash gamma\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash right)\}\{dt\}\; =\; q\; (\backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}),$

gdzie $\backslash gamma$ jest czynnikiem Lorentza, a $c$ to prędkość światła.

Praca siły

Moc wywołana ruchem cząstki w stałym polu wynosi:

$\backslash frac\{d\; \backslash left(\; \backslash gamma\; m\; c^2\; \backslash right)\}\{dt\}\; =\; q\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}.$

To oznacza, że tylko pole elektryczne wykonuje pracę. W przypadku zmiennego pola należy uwzględnić zjawiska indukcji elektrycznej i magnetycznej.