Rozmaitość różniczkowa

jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie – ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia). (2) Aby rozmaitość różniczkowa była klasy $C^1$ (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach współrzędne krzywoliniowe, których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.]]
Rozmaitość różniczkowa lub rozmaitość różniczkowalna to zbiór, który lokalnie tzn. w otoczeniu każdego punktu wygląda jak $\backslash mathbb\; R^n$ (ściślej: jak zbiór otwarty w $\backslash mathbb\; R^n$), ponadto nie ma kantów. Rozmaitości różniczkowe są podstawowym obiektem badań geometrii różniczkowej.
Naturalne przykłady rozmaitości różniczkowych to podzbiory $\backslash mathbb\; R^n$ takie jak sfera i torus jednakże rozmaitości różniczkowe nie muszą być podzbiorami $\backslash mathbb\; R^n$ i mogą mieć bardzo złożoną naturę.
Rozmaitość różniczkową definiuje się jako przestrzeń Hausdorffa wyposażoną w zbiór map, które pokrywają całą rozmaitość. Mapy składają się z podzbioru rozmaitości oraz funkcji, która przyporządkowuje punktom tego podzbioru współrzędne. Tę funkcję nazywa się układem współrzędnych. Dopuszcza się istnienia wielu map dla danej rozmaitości, ponieważ w ogólności jedna mapa nie wystarcza do opisania jej w całości. Np. dla sfery nie istnieje (w sensie geometrii różniczkowej) globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map (np. dwóch map nieco większych niż półsfery, zachodzących na siebie), na których wprowadza się współrzędne sferyczne (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy $C^\backslash infty$).
Bardzo ważnym obiektem związanym z rozmaitościami różniczkowymi jest przestrzeń styczna. Przestrzeń styczna do rozmaitości różniczkowej w punkcie $p$ to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Geometria różniczkowa formalizuje tę intuicję. Przestrzeń styczna pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej i umożliwia zdefiniowanie pól wektorowych i tensorowych na rozmaitościach. Poprzez zdefiniowanie form różniczkowych i całki z formy możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach.
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. tensor metryczny).

Definicja

Mapą na przestrzeni topologicznej $M$ w otoczeniu punktu $p\backslash in\; M$ nazwiemy parę $(U,\; \backslash varphi)$, gdzie $U\; \backslash subset\; M$ zawiera $p$, a $\backslash varphi\; :\; U\; \backslash to\; \backslash varphi(U)\; \backslash subset\; \backslash mathbb\; R^n$ jest homeomorfizmem. Zbiór $U$ nazywamy dziedziną mapy $(U,\; \backslash varphi)$, funkcję $\backslash varphi$ nazywamy układem współrzędnych w otoczeniu punktu $p$, funkcję do niej odwrotną $\backslash varphi^\{-1\}$ nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu $p$, a funkcje $x^i:=\backslash pi^i\; \backslash circ\; \backslash varphi:\; U\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, gdzie $\backslash pi^i:\; \backslash mathbb\; R^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$ są rzutowaniami na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej $\backslash mathbb\; R^n$:
:$\backslash pi^i(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n):=x\_i$
nazywamy współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę $(U,\; \backslash varphi)$. Zbiór map, których dziedziny pokrywają całe $M$ nazywamy atlasem na $M$. Przestrzeń Hausdorffa na której istnieje $n$-wymiarowy atlas nazywamy $n$-wymiarową rozmaitością topologiczną.
Atlas $\backslash mathfrak\; M$ na $M$ nazwiemy klasy $C^r$ jeżeli dla dowolnych dwóch map $(U,\; \backslash varphi),\backslash \; (V,\; \backslash psi)\backslash in\; \backslash mathfrak\; M$ takich, że $U\; \backslash cap\; V\backslash neq\; \backslash emptyset$ odwzorowania zamiany współrzędnych $\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash psi^\{-1\}:\; \backslash psi(U\; \backslash cap\; V)\; \backslash to\; \backslash varphi(U\; \backslash cap\; V)$ i $\backslash psi\; \backslash circ\; \backslash varphi^\{-1\}:\; \backslash varphi(U\; \backslash cap\; V)\; \backslash to\; \backslash psi(U\backslash cap\; V)$ są klasy $C^r$.
Mapę $(U,\; \backslash varphi)$ na $M$ nazwiemy $C^r$-zgodną z atlasem $\backslash mathfrak\; M$ na $M$ jeżeli dla każdej mapy $(V,\; \backslash psi)\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; M$ takiej, że $U\; \backslash cap\; V\; \backslash neq\; \backslash emptyset$ odwzorowania zamiany współrzędnych są klasy $C^r$.
Mając dany atlas $\backslash mathfrak\; M$ klasy $C^r$ na $M$ możemy dołączyć do niego wszystkie mapy $C^r$-zgodne z nim. W ten sposób otrzymamy maksymalny atlas $\backslash overline\; \backslash mathfrak\; M$. Parę: rozmaitość topologiczną wraz z maksymalnym atlasem klasy $C^r$ nazywamy rozmaitością różniczkową klasy $C^r$.

Funkcje różniczkowalne pomiędzy rozmaitościami

Niech $M,\; \backslash \; N$ będą rozmaitościami różniczkowymi klasy $C^k$ i niech $f:M\; \backslash to\; N$. Powiemy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna klasy $C^r$ ($r\; \backslash leq\; k$) w punkcie $p$ jeżeli dla pewnej mapy $(U,\; \backslash varphi)$ w otoczeniu punktu $p$ i dla pewnej mapy $(V,\; \backslash psi)$ w otoczeniu punktu $f(p)$ funkcja $F:=\backslash psi\; \backslash circ\; f\; \backslash circ\; \backslash varphi^\{-1\}:\; \backslash varphi(U)\; \backslash to\; \backslash psi(V)$ jest różniczkowalna, klasy $C^r$ w punkcie $\backslash varphi(p)$.
W definicji korzystamy z pewnych map, ale definicja nie zależy od wyboru map, gdyż dla innych map $(U\_1,\; \backslash varphi\_1),\backslash \; (V\_1,\; \backslash psi\_1)$ w otoczeniu odpowiednio $p$ i $f(p)$ mamy
:$F\_1=\backslash psi\_1\; \backslash circ\; f\; \backslash circ\; \backslash varphi\_1^\{-1\}=(\backslash psi\_1\backslash circ\; \backslash psi^\{-1\})\; \backslash circ\; (\backslash psi\; \backslash circ\; f\; \backslash circ\; \backslash varphi^\{-1\})\; \backslash circ\; (\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash varphi\_1^\{-1\})=(\backslash psi\_1\; \backslash circ\; \backslash psi^\{-1\})\backslash circ\; F\; \backslash circ\; (\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash varphi\; \_1\; ^\{-1\}).$
Ponieważ odwzorowania zamiany współrzędnych $\backslash psi\_1\; \backslash circ\; \backslash psi^\{-1\}$ i $\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash varphi\_1\; ^\{-1\}$ są klasy $C^k$, to $F$ i $F\_1$ są tej samej klasy gładkości.
Funkcję $f:M\backslash to\; N$ pomiędzy rozmaitościami nazywamy różniczkowalną klasy $C^r$ jeżeli jest różniczkowalna klasy $C^r$ w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przestrzeń styczna

Przestrzeń styczna do $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej $M$ w punkcie $p$ to intuicyjnie zbiór wektorów stycznych do rozmaitości w tym punkcie. Wektory te rozpinają $n$-wymiarową przestrzeń liniową co pozwala mówić o wektorach na zbiorach, które nie mają struktury przestrzeni liniowej. Poniższa konstrukcja formalizuje tę intuicję.
Krzywą klasy $C^r$ na $M$ przechodzącą przez punkt $p$ nazwiemy odwzorowanie $\backslash gamma$ klasy $C^r$ dowolnego przedziału $(-\backslash epsilon,\; \backslash epsilon)\backslash subset\; \backslash mathbb\; R$ w $M$ takie, że $\backslash gamma(0)=p$. Oznaczmy zbiór krzywych klasy $C^1$ przechodzących przez punkt $p$ przez $\backslash bar\; T\_pM$. W $\backslash bar\; T\_pM$ dokonamy utożsamienia krzywych, które po przeniesieniu do $\backslash mathbb\; R^n$ za pomocą pewnej mapy $(U,\; \backslash varphi)$ mają równy wektor styczny w zerze. Mianowicie w $\backslash bar\; T\_pM$ wprowadźmy relację
:$\backslash gamma\_1\; \backslash sim\; \backslash gamma\_2\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash gamma\_1)(0)=\backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash gamma\_2)(0).$
Relacja $\backslash sim$ jest relacją równoważności. Relacja ta nie zależy od wyboru mapy $(U,\; \backslash varphi)$. Oznaczmy zbiór klas abstrakcji relacji $\backslash sim$ przez $T\_pM$. $T\_pM$ nazywamy przestrzenią styczną do $M$ w punkcie $p$.
Zdefiniujmy funkcję $\backslash Theta\_\backslash varphi:\; T\_pM\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n$ wzorem
:$\backslash Theta\_\backslash varphi([\backslash gamma]):=\; \backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash gamma)(0)$,
gdzie $[\backslash gamma]$ oznacza klasę abstrakcji krzywej $\backslash gamma$. $\backslash Theta\_\backslash varphi$ jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z $\backslash mathbb\; R^n$ do $T\_pM$. Działania dodawania wektorów z $T\_pM$ i mnożenia ich przez skalar definiujemy mianowicie w następujący sposób.
:$v+w:=\backslash Theta\_\{\backslash varphi\}^\{-1\}(\backslash Theta\_\backslash varphi(v)+\backslash Theta\_\backslash varphi(w))$,
:$\backslash alpha\; \backslash cdot\; v:=\backslash Theta\_\backslash varphi^\{-1\}(\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash Theta\_\backslash varphi(v)).$
Struktura liniowa w $T\_pM$ uzyskana w ten sposób nie zależy od wyboru mapy $(U,\; \backslash varphi)$.
Dla funkcji $f\; \backslash in\; C^\backslash infty(M,\; p)$ zdefiniujmy odwzorowanie $df:T\_pM\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$ wzorem
:$df([\backslash gamma]):=\backslash frac\{d\}\{dt\}(f\; \backslash circ\; \backslash gamma)(0).$
Dla $x^i:=\backslash pi^i\; \backslash circ\; \backslash varphi$ różniczki $dx^i:\; T\_pM\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$ są bazą dualną do bazy $\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash right)$ naturalnej dla mapy $(U,\; \backslash varphi)$ tzn. spełniają równania
:$dx^i(v)=dx^i\; \backslash left(\backslash sum\_\{j=1\}^n\; v\_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; x\_j\}\; \backslash right)=v\_i,\; \backslash \; i=1,\backslash ldots,\; n.$.

Pola tensorowe na rozmaitościach

Niech $T^\{r,s\}(V)$ oznacza zbiór tensorów typu $(r,s)$ $r$-krotnie kowariantnych i $s$-krotnie kontrawariantnych na przestrzeni liniowej $V$. Funkcję
$t:\; M\; \backslash to\; \backslash bigcup\_\{p\backslash in\; M\}\; T^\{r,s\}(T\_pM)$ taką, że $t(p)\; \backslash in\; T^\{r,s\}(T\_pM)$ nazywamy polem tensorowym typu $(r,s)$ na $M$ $r$-krotnie kowariantnym i $s$-krotnie kontrawariantnym. Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, która każdemu punktowi $p$ przyporządkowuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.
W bazie naturalnej dla mapy $(U,\; \backslash varphi)$ można pole tensorowe $t$ na $n$-wymiarowej rozmaitości przedstawić lokalnie tzn. w dziedzinie tej mapy w następujący sposób
:$t=\backslash sum\_\{i\_1,\; \backslash ldots,\; i\_r,\; j\_1,\; \backslash ldots,\; j\_s=1\}^nt\_\{i\_1,\; \backslash ldots,\; i\_r\}^\{j\_1,\; \backslash ldots,\; j\_s\}dx^\{i\_1\}\backslash otimes\; \backslash ldots\; \backslash otimes\; dx^\{i\_r\}\; \backslash otimes\; \backslash frac\{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; x\_\{j\_1\}\}\backslash otimes\; \backslash ldots\; \backslash otimes\; \backslash frac\{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; x\_\{j\_s\}\},$
gdzie $\backslash otimes$ oznacza iloczyn tensorowy, a $(dx^i(p))$ oznacza bazę dualną do bazy $\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash right)$ tzn. daną wzorami
:$dx^i(p)(v)=dx^i\; (p)\backslash left(\backslash sum\_\{j=1\}^n\; v\_j\; \backslash frac\{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; x\_j\}\; \backslash right)=v\_i.$
Funkcje $t\_\{i\_1,\; \backslash ldots,\; i\_r\}^\{j\_1,\; \backslash ldots,\; j\_s\}:\; U\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$ nazywamy naturalnymi współrzędnymi pola $t$ (w mapie $(U,\; \backslash varphi)$) Oznaczmy ją $T\_p^0M$. Zdefiniujmy $\backslash gamma\_*\backslash in\; T\_p^0\; M$
wzorem
:$\backslash gamma\_*(f):=\backslash frac\{d\}\{dt\}(f\; \backslash circ\; \backslash gamma)(0)$.
Funkcja $\backslash varkappa:\; T\_pM\; \backslash to\; T\_p^0M$ dana wzorem
:$\backslash varkappa([\backslash gamma]):=\backslash gamma\_*$
jest naturalnym izomorfizmem (tzn. izomorfizmem niezależnym od wyboru bazy).
Definicja „algebraiczna” jest bardziej abstrakcyjna i mniej intuicyjna, ale często wygodna w użyciu.

Pola wektorowe

Niech $M$ będzie gładką rozmaitością różniczkową i niech $X$ będzie polem wektorowym na $M$. Ponieważ dla $p\backslash in\; M$ $X\_p:=X(p)$ jest już wektorem stycznym z $T\_pM$ to w związku z tym, co zostało powiedziane w poprzednim podrozdziale można $X\_p$ uważać za funkcjonał różniczkowy. Wynika z tego, że pole wektorowe $X$ na $M$ przyporządkowuje funkcji $f\backslash in\; C^\backslash infty(M)$ funkcję $Xf\; \backslash in\; C^\backslash infty(M)$ daną wzorem
: $(Xf)(p):=X\_pf\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R.$
Na rozmaitościach gładkich można pola wektorowe, podobnie jak przestrzeń styczną, zdefiniować czysto algebraicznie jako różniczkowania: dla pola wektorowego $X$ funkcja $\backslash tilde\; X:\; C^\backslash infty\; (M)\; \backslash to\; C^\backslash infty(M)$
dana wzorem
:$\backslash tilde\; Xf:=\backslash tilde\; X(f):=Xf$
jest różniczkowaniem algebry $C^\backslash infty(M)$ tzn. dla dowolnych $f,g\; \backslash in\; C^\backslash infty(M)$
spełnia
:$\backslash tilde\; X(fg)=\backslash tilde\; Xf\; \backslash cdot\; g+f\backslash cdot\; \backslash tilde\; Xg.$
Odwrotnie: jeżeli $D$ jest liniowym różniczkowaniem algebry $C^\backslash infty\; (M)$ to
:$Df=\backslash tilde\; Xf$
dla pewnego pola wektorowego $X$ na $M.$. Parę: rozmaitość różniczkową wraz ze zdefiniowanym na niej tensorem metrycznym nazywamy rozmaitością riemannowską.
W mapie $(U,\; \backslash varphi)$ możemy lokalnie przedstawić $g$ na $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej w postaci
:$g\; =\; \backslash sum\_\{i,j=1\}^n\; g\_\{i,j\}dx^i\; \backslash otimes\; dx^j.$
Dzięki strukturze riemannowskiej można mówić o kątach pomiędzy wektorami, o długości krzywych na rozmaitości. Dzięki temu możliwe jest zdefiniowanie linii geodezyjnych.