Rozkład Studenta

Rozkład Studenta, znany również jako rozkład t-Studenta, jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa istotnym w statystyce, szczególnie w testowaniu hipotez i ocenie niepewności pomiarów. Opracowany przez Williama Sealy Gosseta w 1908 roku, rozkład ten jest użyteczny, gdy dostępne są jedynie wyniki prób, a nieznane jest odchylenie standardowe populacji.

Definicja

Rozkład Studenta o n stopniach swobody jest definiowany jako:

$T = frac{U}{sqrt{Z}}sqrt{n}$

gdzie:

$U$ – zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym $N(0,1)$
$Z$ – zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody

Gęstość prawdopodobieństwa

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej $T$ wyraża się wzorem:

$f(t,n) = frac{Gamma(frac{n+1}{2})}{Gamma(frac{n}{2})sqrt{npi}}left(1+frac{t^2}{n}right)^{-frac{n+1}{2}}$

Własności

Rozkład Studenta charakteryzuje się:

Symetrią i jednomodalnością
Przy dużych n zbieżnością do rozkładu normalnego $N(0,1)$
Brakiem skończonych momentów dla n ≤ 1

Zastosowania

Rozkład Studenta jest szeroko stosowany w metrologii i statystyce, zwłaszcza w:

Estymacji przedziałowej i testach parametrycznych (np. test t-Studenta, test t-Welcha)
Analizie wariancji dla małych prób (n ≤ 30)

W metrologii używany jest do estymacji odchylenia standardowego, gdzie dla n > 30 pokrywa się z rozkładem normalnym. Przy mniejszych próbach wartość krytyczna jest mnożona przez wartość krytyczną rozkładu Studenta.

Bibliografia

Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne

Wykresy gęstości i wartości krytyczne dla rozkładu Studenta.
Kalkulator rozkładu Studenta online.

Najnowsze aktualności:

Rozkład Studenta