Rozkład hipergeometryczny

Rozkład hipergeometryczny to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje sytuacje związane z losowaniem obiektów z populacji o skończonej wielkości. W tym modelu analizuje się prawdopodobieństwo uzyskania $k$ sukcesów (wylosowania obiektów z określoną cechą) w $n$ -elementowej próbie z populacji $N$ , w której znajduje się $m$ obiektów spełniających tę cechę.

Funkcja masy prawdopodobieństwa

Funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) dla zmiennej losowej $X$ z rozkładem hipergeometrycznym wyraża się wzorem:

$p_X(k) = \mathbb{P}(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}},$
gdzie:

$N$ – wielkość populacji,
$m$ – liczba obiektów mających daną cechę,
$n$ – liczba losowań,
$k$ – liczba sukcesów w próbie.

Wzór ten jest stosowany dla $k$ w zakresie od $\max(0, n+m-N)$ do $\min(m,n)$ .

Przykład

W grze Lotto uczestnik wybiera 6 liczb spośród 49. Zmienna $X$ , określająca liczbę trafionych liczb, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami $N=49$ , $m=6$ , $n=6$ . Prawdopodobieństwo trafienia wszystkich sześciu liczb (trafienie szóstki) wynosi:

$p_X(6) = \frac{\binom{6}{6} \binom{43}{0}}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13,983,816} \approx 0.0000000715.$

Prawdopodobieństwo trafienia dokładnie trzech liczb wynosi:

$p_X(3) = \frac{\binom{6}{3} \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}} = \frac{246,820}{13,983,816} \approx 0.0177.$

Jeśli uczestnik typuje 8 liczb, zmienna $Y$ , określająca liczbę wylosowanych liczb, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami $N=49$ , $m=8$ , $n=6$ . Prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

$p_Y(6) = \frac{\binom{8}{6} \binom{41}{0}}{\binom{49}{6}} \approx 0.0000020023.$

Najnowsze aktualności:

Rozkład hipergeometryczny