Równanie sześcienne

Równania sześcienne

Równanie sześcienne, mające postać $f(x)\; =\; ax^3\; +\; bx^2\; +\; cx\; +\; d\; =\; 0$ (gdzie $a\; \backslash neq\; 0$), może posiadać trzy pierwiastki rzeczywiste lub zespolone. Przykładem jest funkcja sześcienna $f(x)\; =\; x^3\; +\; 3x^2\; –\; 6x\; –\; 8$, która ma trzy pierwiastki rzeczywiste: 2, -1 oraz -4.

Rys historyczny

Rozwiązania równań sześciennych pojawiły się w XVI wieku. Włoski matematyk Scipione del Ferro jako pierwszy odkrył metody rozwiązania takich równań, które później były rozwijane przez Niccolò Tartaglię oraz Girolamo Cardano. Cardano, po uzyskaniu wiedzy o metodzie Tartaglii, opublikował ją w swoim dziele Ars Magna w 1545 roku.

Postać kanoniczna

Aby znaleźć pierwiastki równania sześciennego, sprowadza się je do postaci kanonicznej:
$y^3\; +\; py\; +\; q\; =\; 0$, gdzie:

• $p\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}\; –\; \backslash frac\{b^2\}\{3a^2\}$
• $q\; =\; \backslash frac\{2b^3\}\{27a^3\}\; +\; \backslash frac\{d\}\{a\}\; –\; \backslash frac\{bc\}\{3a^2\}$

Podstawienie $x\; =\; y\; –\; \backslash frac\{b\}\{3a\}$ umożliwia przekształcenie równania do tej postaci.

Wyróżnik i liczba pierwiastków

Aby określić liczbę pierwiastków rzeczywistych, oblicza się wyróżnik:
$\backslash Delta\; =\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{3\}\backslash right)^3\; +\; \backslash left(\backslash frac\{q\}\{2\}\backslash right)^2$.
Na podstawie wartości wyróżnika można określić liczbę pierwiastków:

• Jeśli $\backslash Delta\; >\; 0$: jeden pierwiastek rzeczywisty, dwa zespolone
• Jeśli $\backslash Delta\; =\; 0$: jeden pierwiastek podwójny i jeden pojedynczy
• Jeśli : trzy różne pierwiastki rzeczywiste

Obliczanie pierwiastków

Pierwiastki równania można obliczyć za pomocą wzorów Cardana. Na przykład, dla równania o współczynnikach rzeczywistych można używać wzorów:

• $y\_0\; =\; u\; +\; v$
• $y\_1\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}(u\; +\; v)\; +\; i\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}(u\; –\; v)$
• $y\_2\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}(u\; +\; v)\; –\; i\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}(u\; –\; v)$

Przykłady równań sześciennych

Oto przykłady równań sześciennych:
1. $f(x)\; =\; x^3\; –\; 1$ ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone.
2. $f(x)\; =\; x^3\; –\; 4x^2\; +\; 5x\; –\; 2$ ma pierwiastek podwójny i jeden pojedynczy.
3. $f(x)\; =\; x^3\; –\; 6x^2\; +\; 11x\; –\; 6$ ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

Obliczenia numeryczne

Obliczanie pierwiastków sześciennych z liczb ujemnych w programowaniu wymaga ostrożności. W Pythonie zaleca się stosować funkcję cbrt z biblioteki numpy, aby uzyskać poprawne wyniki dla pierwiastków sześciennych.

Podsumowanie

Równania sześcienne mają kluczowe znaczenie w matematyce i aplikacjach inżynieryjnych. Zrozumienie metod ich rozwiązywania oraz zastosowanie odpowiednich wzorów i narzędzi komputerowych umożliwia skuteczne ich analizowanie i obliczanie pierwiastków.