Równanie różniczkowe Poissona

Równanie różniczkowe Poissona

Równanie Poissona to niejednorodne liniowe równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, które można zapisać jako:

$\backslash nabla^2\; u\; =\; f$ lub $\backslash Delta\; u\; =\; f.$

Funkcję $f$ traktuje się jako znaną w kontekście przestrzeni, w której zachodzi równanie.

Szczególne przypadki

Równanie Poissona przyjmuje różne formy w zależności od wymiaru przestrzeni:

• Dla przestrzeni trójwymiarowej:

$\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}u(x,y,z)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}u(x,y,z)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}u(x,y,z)\; =\; f(x,y,z)$

• Dla przestrzeni dwuwymiarowej:

$\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}u(x,y)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}u(x,y)\; =\; f(x,y)$

• Dla przestrzeni jednowymiarowej:

$u”(x)\; =\; f(x)$

W przypadku jednorodnym (gdy $f\; \backslash equiv\; 0$), równanie to nazywane jest równaniem Laplace’a. Równanie Poissona znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak:

• rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła,
• potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł,
• potencjał pola elektrostatycznego w obecności ładunków,
• temperatura wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Nazwa równania pochodzi od Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku.

Rozwiązania i funkcje Greena

Równanie Poissona z warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe, które ma regularne rozwiązania, jeśli warunki brzegowe są ciągłe. Dla obszaru $U$ i funkcji ciągłych $f$ oraz $g$, rozwiązaniem równania Poissona $\backslash Delta\; u\; =\; f$ w obszarze $U$, spełniającym warunek $u\; =\; g$ na brzegu, jest:

$u(x)\; =\; \backslash int\_\{\backslash partial\; U\}\; g(y)\; \backslash frac\{\backslash partial\; G\}\{\backslash partial\; n\}\; (x,y)\; dS(x,y)\; +\; \backslash int\_U\; f(y)\; G(x,y)\; dy.$

Funkcja Greena obszaru (jeśli istnieje) dla półprzestrzeni $\backslash mathbb\{R\}^n\_+\; =\; \backslash \{x=(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n):\; x\_n>0\backslash \}$ ma postać:

$G(x,y)\; =\; \backslash Gamma\; (y\; –\; x)\; –\; \backslash Gamma\; (y\; –\; \backslash bar\{x\}),$

gdzie $\backslash bar\{x\}\; =\; (x\_1,\backslash dots,\; -x\_n)$, a $\backslash Gamma$ to rozwiązanie podstawowe laplasjanu. Funkcja Greena dla kuli ma formę:

$G(x,y)\; =\; \backslash Gamma\; (y\; –\; x)\; –\; \backslash Gamma\; (|x|(y\; –\; \backslash tilde\{x\})),$

gdzie $\backslash tilde\{x\}\; =\; \backslash frac\{x\}\{|x|^2\}$.