Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:

$\backslash frac\{dy\}\{dx\}+p(x)y+q(x)y^n=0,$ gdzie $p(x),\; q(x)\; \backslash in\; C(a,b).$ Dla $n\; \backslash in\; \{0,\; 1\},$ przekształca się ono do formy równania liniowego.

Rozwiązanie równania

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego, należy podzielić obie strony przez $y^n.$ Otrzymujemy wtedy:

$\backslash frac\{1\}\{y^n\}\backslash frac\{dy\}\{dx\}+p(x)y^\{1-n\}+q(x)=0.$

Wprowadzamy pomocniczą zmienną $z=y^\{1-n\},$ co prowadzi do:

$z’=(1-n)y^\{-n\}y’.$

Po podstawieniu tej zmiennej i jej pochodnej do równania uzyskujemy:

$\backslash frac\{1\}\{1-n\}\backslash frac\{dz\}\{dx\}+p(x)z+q(x)=0,$ które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład

Rozwiążmy równanie różniczkowe:

$y’+\backslash frac\{x\}\{1-x^2\}y-x^2y^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}=0.$

Podzielając obie strony przez $y^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\},$ otrzymujemy:

$\backslash frac\{y’\}\{y^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}+\backslash frac\{x\}\{1-x^2\}y^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}-x^2=0.$

Wprowadzamy zmienną $z=y^\{1-\backslash frac\{1\}\{2\}\}=y^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\},$ co prowadzi do:

$z’=\backslash frac\{1\}\{2y^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}y’.$

Po podstawieniu do równania otrzymujemy:

$2z’+\backslash frac\{x\}\{1-x^2\}z-x^2=0.$

To równanie jest liniowym równaniem różniczkowym niejednorodnym, które należy rozwiązać.