Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe

Równanie różniczkowe definiuje zależność między funkcją nieznaną a jej pochodnymi. Można je podzielić na dwa główne typy:

• Równania różniczkowe zwyczajne – dotyczą funkcji jednej zmiennej.
• Równania różniczkowe cząstkowe – związane z funkcjami wielu zmiennych.

Przykład

Rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego, takiego jak $y”\; +\; y\; =\; 0$, polega na znalezieniu funkcji $y(x)$, która je spełnia. Ogólne rozwiązanie tego równania ma formę:

$y\; =\; A\; \backslash cos\{x\}\; +\; B\; \backslash sin\{x\},$

gdzie $A$ i $B$ to stałe wyznaczane na podstawie warunków początkowych lub brzegowych.

Metody rozwiązywania

Równania różniczkowe można rozwiązywać za pomocą metod analitycznych, jednak wiele z nich nie ma rozwiązań w postaci jawnej. Kluczowe jest ustalenie istnienia rozwiązania, a w praktyce często wystarcza znalezienie rozwiązania przybliżonego. W tym celu stosuje się metody numeryczne, takie jak metoda Rungego-Kutty.

Aktualnie prowadzi się badania nad nowymi metodami rozwiązywania równań różniczkowych, które mają szerokie zastosowania praktyczne. Na uniwersytetach istnieją katedry zajmujące się poszukiwaniem rozwiązań innowacyjnych równań.

Oprogramowanie

Do znajdowania rozwiązań równań różniczkowych dostępne są różne programy:

• Płatne:
  • Mathematica – aplikacja do obliczeń symbolicznych.
  • Maple – narzędzie do obliczeń symbolicznych.
  • MATLAB – platforma obliczeniowa (skrót od MATrix LABoratory).
• Bezpłatne:
  • Maxima – system algebry komputerowej.
  • SageMath.
  • SymPy – biblioteka Pythona do obliczeń symbolicznych.
  • Xcas.

Przykłady zastosowań

Równania różniczkowe mają zastosowanie w różnych dziedzinach:

• Matematyka:
  • Równanie Laplace’a.
  • Równanie Poissona.
  • Równania Cauchy’ego-Riemanna.
• Mechanika klasyczna:
  • Równania Newtona.
  • Równania Hamiltona.
• Teoria fal:
  • Równanie falowe.
  • Równania Maxwella.
• Fizyka jądrowa:
  • Równanie rozpadu promieniotwórczego.
• Mechanika płynów:
  • Równanie Naviera-Stokesa.
  • Równanie Poissona-Boltzmanna.
• Termodynamika:
  • Równanie przewodnictwa cieplnego.
  • Równanie konwekcji swobodnej.
• Teoria grawitacji:
  • Równania Einsteina.
  • Równania Einsteina-Infelda-Hoffmanna.
• Mechanika kwantowa:
  • Równanie Schrödingera.
  • Równanie Pauliego.
  • Równanie Diraca.