Równanie falowe

Wprowadzenie do równania falowego

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, które opisuje ruch falowy. Ogólna postać równania to:

$\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u – c^2 \cdot \triangle_x u= 0, & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+ \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_+ \\
u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
\end{cases}$

W równaniu funkcja $u(x,t)$ opisuje wychylenie fali w punkcie $x$ w chwili $t$ , a stała $c$ oznacza prędkość rozchodzenia się fali.

Rodzaje równań falowych

Równanie falowe można rozróżnić w zależności od wymiaru przestrzeni:

Równanie struny (n=1): Ma postać:

$\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u – c^2 \cdot \triangle_x u= 0, & u:\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+ \to{} \mathbb{R} \\
u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}
\end{cases}$

Równanie falowe w wymiarze 2 (n=2): Rozwiązanie przy użyciu metody spadku:

$2\pi{}c \cdot u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\int\limits_{D(x,ct)}{\frac{f(z)\mathrm d\sigma(z)}{\sqrt{c^2{}t^2 – |z-x|^2}}}\right) + \int\limits_{D(x,ct)}{\frac{g(z)\mathrm d\sigma(z)}{\sqrt{c^2 t^2 – |z-x|^2}}}.$

Równanie falowe w wymiarze 3 (n=3): Rozwiązanie za pomocą średnich sferycznych:

$4\pi{}c^2{}\cdot{}u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{t}\int\limits_{S^2(x,ct)}{f(z)\mathrm d\sigma(z)}\right) + \frac{1}{t} \int\limits_{S^2(x,ct)}{g(z)\mathrm d\sigma(z)}.$

Niejednorodne równanie falowe

Niejednorodne równanie falowe ma postać:

$\begin{cases}
\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u – c^2 \cdot \triangle_x u= h(x,t), & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+ \to{} \mathbb{R} \\
u(x,0) = 0, \\
\frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = 0,
\end{cases}$

Rozwiązanie uzyskuje się metodą całek Duhamela:

$4\pi{}c^2 u(x,t) = \int\limits_0^{ct}{\mathrm dr \int\limits_{S^2(x,r)}{h\left(z, t-\frac{r}{c}\right)} \mathrm d\sigma(z)}.$

Zasada Huygensa

Zasada Huygensa opisuje, jak fale rozchodzą się w przestrzeni, w zależności od parzystości wymiaru. Dla $n=3$ fala jest ograniczona czasowo, podczas gdy dla $n=2$ fala nigdy nie ustaje, ale jej amplituda maleje.

Radiacyjna strzałka czasu

Równanie falowe opisuje fale wychodzące i wchodzące do źródła, przy czym obserwuje się głównie fale wychodzące. Ta asymetria jest określana jako radiacyjna strzałka czasu.

Bibliografia

Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa.

Najnowsze aktualności: