Równanie Einsteina

Równanie Einsteina, znane także jako równanie pola ogólnej teorii względności, opisuje związek między geometrią czasoprzestrzeni a rozkładem materii i energii. Jego podstawowa forma to:

$R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = -\frac{8 \pi}{c^4} G T_{\mu\nu},$

gdzie:

$R_{\mu\nu}$ – tensor krzywizny Ricciego,
$R$ – skalar krzywizny Ricciego,
$g_{\mu\nu}$ – tensor metryczny,
$\Lambda$ – stała kosmologiczna,
$T_{\mu\nu}$ – tensor energii-pędu,
$c$ – prędkość światła,
$G$ – stała grawitacji.

Tensor metryczny $g_{\mu\nu}$ jest symetryczny i ma 10 niezależnych składowych.

Interpretacja równania

Równanie Einsteina może być interpretowane jako równanie dla tensora metrycznego $g_{\mu\nu}$ , który opisuje krzywiznę czasoprzestrzeni w odpowiedzi na rozkład materii i energii. Mimo prostego wyglądu, równanie to jest skomplikowane ze względu na nieliniowe zależności między tensorami. Rozwiązania analityczne są znane tylko w ograniczonych przypadkach, np. metryka Schwarzschilda dla sferycznie symetrycznych rozkładów masy.

Tensor Einsteina

W zastosowaniach astrofizycznych można pominąć stałą kosmologiczną, co pozwala na uproszczenie równania do postaci:

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = -8\pi T_{\mu\nu}.$

W tej formie lewa strona opisuje krzywiznę czasoprzestrzeni, a prawa jej zawartość energii i materii.

Nieliniowość równania

Równanie Einsteina składa się z 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych. Nieliniowość odróżnia je od równań Maxwella i równania Schrödingera, które są liniowe.

Rozwiązania w próżni

W próżni, gdzie $\epsilon = 0$ i $P = 0$ , oraz przy $\Lambda = 0$ , równanie Einsteina prowadzi do przestrzeni płaskiej (np. przestrzeń Minkowskiego) lub rozwiązania z metryką Schwarzschilda. Jeśli $\Lambda$ jest różne od zera, czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę, co opisuje Wszechświat de Sittera.

Równanie Einsteina, w połączeniu z równaniem geodezyjnym, stanowi fundament ogólnej teorii względności, ukazując, jak materia i energia kształtują krzywiznę czasoprzestrzeni.

Najnowsze aktualności:

Równanie Einsteina