Równanie Diraca

Równanie Diraca

Równanie Diraca, sformułowane przez Paula Diraca w 1928 roku, jest kluczowe w relatywistycznej mechanice kwantowej i dotyczy cząstek o spinie 1/2, takich jak elektrony i kwarki. Równanie to jest zgodne z zasadami relatywistycznymi i uwzględnia zarówno cząstki swobodne, jak i oddziałujące z polem elektromagnetycznym. W przeciwieństwie do równania Pauliego, równanie Diraca wprowadza spin w sposób naturalny.

Macierze gamma

Macierze gamma, oznaczane jako $\backslash gamma^\backslash mu$, są macierzami $4\; \backslash times\; 4$ spełniającymi zasady antykomutacji. Ich struktura jest kluczowa dla uzyskania relatywistycznych równań cząstek, a różne reprezentacje, takie jak reprezentacja Pauliego-Diraca, dostarczają konkretnych form tych macierzy.

Postać jawnie relatywistycznie niezmiennicza

Równanie Diraca można zapisać w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej, co oznacza, że nie odróżnia ono czasu od współrzędnych przestrzennych, ale traktuje je jako elementy czterowektora położenia w czasoprzestrzeni.

Równania dla cząstek

Równanie Diraca dla cząstki swobodnej przyjmuje postać:

$(i\; \backslash hbar\backslash ,\backslash gamma^\backslash mu\backslash partial\_\backslash mu-mc)\backslash Psi(x^\backslash nu)=0.$

Dla cząstki oddziałującej z polem elektromagnetycznym równanie ma postać:

$(\backslash gamma^\backslash mu(i\backslash hbar\backslash partial\_\backslash mu\; –\; qA\_\backslash mu)\; –\; mc)\; \backslash Psi\; =\; 0.$

Funkcja falowa

Funkcja falowa Diraca, zwana bispinorem, ma cztery składowe zespolone. Jej interpretacja różni się w zależności od kierunku pędu cząstki oraz tego, czy jest to cząstka czy antycząstka.

Gęstość prawdopodobieństwa

Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca definiuje się jako:

$\backslash rho\; =\; \backslash Psi^\backslash dagger\; \backslash Psi.$

Wartość ta reprezentuje prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym położeniu.

Operator spinu i jego właściwości

Operator spinu Diraca jest zdefiniowany tak, aby komutował z całkowitym momentem pędu. Jego składowe mają postać:

$\backslash hat\; S\_i=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash hbar\; \backslash sigma^D\_i,$

gdzie $\backslash sigma^D\_i$ to odpowiednie macierze.

Prawdopodobieństwa pomiaru spinu

Prawdopodobieństwa pomiaru spinu dla cząstki i antycząstki oblicza się poprzez rozkład bispinora Diraca w bazie wektorów własnych operatorów spinu.

Lagranżjan Diraca

Równanie Diraca można wyprowadzić z zasady działania, której gęstość lagranżjanu ma postać:

$\backslash mathcal\{L\}=i\backslash hbar\; c\backslash ,\backslash overline\backslash psi\backslash ,\backslash gamma^\backslash mu\backslash ,\backslash partial\_\backslash mu\backslash psi\; –\; mc^2\backslash ,\backslash overline\backslash psi\backslash ,\backslash psi.$

Powyższe informacje podsumowują kluczowe aspekty równania Diraca oraz jego zastosowania w opisie cząstek fermionowych i ich spinów.