Równanie Boltzmanna

Równanie Kinetyczne Boltzmanna

Równanie kinetyczne Boltzmanna, sformułowane w 1872 roku, jest kluczowym elementem kinetycznej teorii gazów. Opisuje ono ewolucję gazu w stanie braku równowagi termodynamicznej, a jego najważniejszą konsekwencją jest twierdzenie H, które przewiduje nieodwracalność procesu relaksacji gazu do równowagi termodynamicznej. Mimo odwracalności mikroskopowej dynamiki zderzeń, twierdzenie H wskazuje na istotę procesów makroskopowych. Równanie Boltzmanna jest także fundamentem teorii chaosu oraz stanowi bazę dla równań mechaniki płynów, takich jak równanie Naviera-Stokesa i równanie przewodnictwa cieplnego.

Definicja Równania Boltzmanna

Równanie Boltzmanna jest nieliniowym równaniem różniczkowo-całkowym, opisującym jednopunktową funkcję rozkładu $f\_1$. Wyrażenie to ma postać:

$\backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash boldsymbol\{v\}\_1\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{r\}\}\; +\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{F\}\}\{m\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{v\}\_1\}\; =\; \backslash int\; \backslash mathrm\; d\backslash Omega\; \backslash int\; \backslash mathrm\; d^3v\_2\backslash ,\backslash sigma(\backslash Omega)|\backslash boldsymbol\{v\}\_1-\backslash boldsymbol\{v\}\_2|(f\_2’f\_1\prime \; –\; f\_2f\_1).$

W równaniu tym:

• $t$ – czas,
• $\backslash boldsymbol\{r\}$ – położenie,
• $\backslash boldsymbol\{v\}\_1,\; \backslash boldsymbol\{v\}\_2$ – prędkości cząstek przed zderzeniem,
• $\backslash boldsymbol\{v\}\_1\prime ,\; \backslash boldsymbol\{v\}\_2\prime$ – prędkości cząstek po zderzeniu,
• $f\_1$ – funkcja rozkładu cząstek o prędkości $\backslash boldsymbol\{v\}\_1$ w punkcie $\backslash boldsymbol\{r\}$ w chwili $t$,
• $f\_2$ – funkcja rozkładu cząstek o prędkości $\backslash boldsymbol\{v\}\_2$,
• $f\_1\prime$ – funkcja rozkładu cząstek o prędkości $\backslash boldsymbol\{v\}\_1\prime$,
• $f\_2\prime$ – funkcja rozkładu cząstek o prędkości $\backslash boldsymbol\{v\}\_2\prime$,
• $\backslash boldsymbol\{F\}$ – zewnętrzna siła (np. grawitacja),
• $m$ – masa cząstek gazu,
• $\backslash Omega$ – bryłowy kąt rozpraszania,
• $\backslash sigma(\; \backslash Omega)$ – różniczkowy przekrój czynny dla zderzenia.

Równanie Boltzmanna jest zatem kluczowym narzędziem w zrozumieniu zachowań gazów oraz dynamiki ich procesów. Jego zastosowanie ma fundamentalne znaczenie w fizyce i inżynierii.