Rezonans

Rezonans

Rezonans to zjawisko fizyczne, które występuje w układach drgających, gdy amplituda drgań osiąga maksimum dla określonej częstotliwości siły wymuszającej, zwanej częstotliwością rezonansową. W układach o wielu stopniach swobody istnieje wiele częstotliwości własnych, a rezonans najłatwiej wywołać na najniższej z nich.

Układy te pobierają energię ze źródła wymuszającego oraz przechowują ją, jednak tłumienie powoduje pewne straty energii. Przy ustalonej amplitudzie siły wymuszającej osiągany jest stan równowagi.

Przykłady rezonansu

Rezonans jest powszechnie obserwowany w naturze oraz wykorzystywany w różnych technologiach, takich jak:

• Rezonans mechaniczny:
  • Wytwarzanie dźwięku w instrumentach muzycznych
  • Regulacja szybkości chodu zegarów mechanicznych
  • Duże pływy morskie oraz sejsze
• Rezonans elektryczny:
  • Wzbudzanie drgań w obwodach LC
  • Rezonans optyczny w laserach
• Rezonans chemiczny i magnetyczny:
  • Jądrowy rezonans magnetyczny
  • Efekt Mössbauera

Drgania harmoniczne tłumione

Najprostszym układem rezonansowym jest tłumiony oscylator harmoniczny, który w stanie stacjonarnym osiąga drgania o częstotliwości wymuszającej i stałej amplitudzie.

Stan stacjonarny

W stanie stacjonarnym moc rozpraszana przez układ drgający można opisać równaniem:

$P\; =\; P\_0\; \backslash frac\{\backslash Gamma^2\; \backslash omega^2\}\{(\backslash omega^2\; –\; \backslash Omega^2)^2\; +\; \backslash Gamma^2\; \backslash omega^2\; \}$

Wartości te zależą od szerokości rezonansu oraz współczynnika tłumienia, co pozwala na określenie charakterystyki układu rezonansowego.

Opis matematyczny

Siła wymuszająca opisana jest wzorem $F\; =\; F\_0\backslash cos(\{\backslash omega\}t)$, co prowadzi do równania ruchu:

$m\backslash frac\{d^2\; x\}\{dt^2\}+m\; \backslash Gamma\; \backslash frac\{dx\}\{dt\}+m\; \backslash Omega^2\; x\; =\; F\_0\backslash cos(\{\backslash omega\}t).$

Rozwiązania drgań w stanie stacjonarnym można opisać jako sumę drgań zgodnych i przesuniętych o 90°.

Drgania w pobliżu rezonansu

W pobliżu rezonansu amplituda, energia oraz moc tracona przez oscylator zmieniają się w podobny sposób w zależności od częstości, co można opisać rozkładem Cauchy’ego.

Brak tłumienia

W przypadku braku tłumienia, drgania w rezonatorze są kombinacją drgań o różnych częstościach, co prowadzi do powstawania dudnień o określonej częstości.

W miarę zbliżania się częstotliwości pobudzania do częstotliwości rezonansowej, okres dudnień wydłuża się, co skutkuje drganiami o liniowo rosnącej amplitudzie.