Relacja przechodnia

Relacje przechodnie i przeciwprzechodnie

Relacja przechodnia (tranzytywna) to taka, która spełnia warunek: jeśli istnieją pary (x, y) oraz (y, z), to także istnieje para (x, z). Formalnie, relacja $\varrho \subset X\times X$ jest przechodnia, jeśli:

$\forall_{x,y,z \in X}\; ( x \;\varrho\; y \land y \;\varrho\; z ) \Rightarrow x \;\varrho\; z.$

Równoważnie, $\varrho$ jest przechodnia, gdy $\varrho\circ \varrho\subseteq \varrho.$ Przechodniość jest kluczowym elementem praporządków oraz relacji równoważności i porządków częściowych.

Przykłady relacji przechodnich

Relacje równoważności (np. równość)
Relacje częściowego porządku:
- niewiększość (⩽) i niemniejszość (⩾)
- zawieranie zbiorów (⊆, ⊇)
- podzielność w zbiorze liczb naturalnych
Porządki ostre (ścisłe):
- relacje mniejszości (<) i większości (>)
- bycie przodkiem (wstępnym)
- braterstwo rodzone

Relacje przeciwprzechodnie

Relacje przeciwprzechodnie (atranzytywne) są takie, że jeśli zachodzi relacja dla par (x, y) i (y, z), to nie zachodzi dla pary (x, z). Przykłady obejmują:

Prostopadłość prostych na płaszczyźnie
Wynik w grze papier, kamień, nożyce

Relacje nieprzechodnie

Niektóre relacje nie są ani przechodnie, ani przeciwprzechodnie, do takich należą:

Różność „ $\neq$ ”
Przecinanie się zbiorów
Względna pierwszość liczb
Prostopadłość prostych w trójwymiarze
Liniowa niezależność wektorów
Przemienność funkcji
Współpłaszczyznowość prostych lub wektorów
Podgrupa normalna
Rodzicielstwo (np. wyjątki przez kazirodztwo)

Podsumowanie

Relacje przechodnie i przeciwprzechodnie są kluczowymi pojęciami w matematyce, szczególnie w teorii zbiorów i porządków. Zrozumienie ich właściwości jest istotne dla analizy różnych struktur matematycznych.

Najnowsze aktualności: